多面體歐拉定理的內(nèi)容是什么，怎么推導出來的？

歐拉公式簡單多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系V+F-E=2這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。歐拉定理的意義（1）數(shù)學規(guī)律：公式描述了簡單多面體中頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間特有的規(guī)律（2）思想方法創(chuàng)新：定理發(fā)現(xiàn)證明過程中，觀念上，假設(shè)它的表面是橡皮薄膜制成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。（3）引入拓撲學：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關(guān)的量發(fā)生了變化，而頂點數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)等不變。定理引導我們進入一個新幾何學領(lǐng)域：拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質(zhì)。（4）提出多面體分類方法：在歐拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做歐拉示性數(shù)。歐拉定理告訴我們，簡單多面體f (p)=2。除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個洞，連結(jié)底面相應頂點得到的多面體。它的表面不能經(jīng)過連續(xù)變形變?yōu)橐粋€球面，而能變?yōu)橐粋€環(huán)面。其歐拉示性數(shù)f (p)=16+16-32=0，即帶一個洞的多面體的歐拉示性數(shù)為0。歐拉定理的證明方法1：（利用幾何畫板）逐步減少多面體的棱數(shù)，分析V+F-E先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。去掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形，四面體頂點數(shù)V、棱數(shù)V與剩下的面數(shù)F1變形后都沒有變。因此，要研究V、E和F關(guān)系，只需去掉一個面變?yōu)槠矫鎴D形，證V+F1-E=1（1）去掉一條棱，就減少一個面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變?yōu)椤皹渲π巍?。?）從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個頂點，V+F1-E不變，直至只剩下一條棱。以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個面，V+F-E =2。 對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的?！》椒?：計算多面體各面內(nèi)角和設(shè)多面體頂點數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E。剪掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形（拉開圖）,求所有面內(nèi)角總和Σα一方面，在原圖中利用各面求內(nèi)角總和。 設(shè)有F個面，各面的邊數(shù)為n1,n2，…，nF，各面內(nèi)角總和為：Σα = [(n1-2)?1800+(n2-2)?1800 +…+(nF-2) ?1800]=(n1+n2+…+nF -2F) ?1800=(2E-2F) ?1800 = (E-F) ?3600 （1）另一方面，在拉開圖中利用頂點求內(nèi)角總和。設(shè)剪去的一個面為n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)?1800，則所有V個頂點中，有n個頂點在邊上，V-n個頂點在中間。中間V-n個頂點處的內(nèi)角和為(V-n)?3600，邊上的n個頂點處的內(nèi)角和(n-2)?1800。所以，多面體各面的內(nèi)角總和：Σα=(V-n)?3600+(n-2)?1800+(n-2)?1800 =（V-2）?3600. （2）由(1)(2)得： (E-F) ?3600 =（V-2）?3600 所以 V+F-E=2. 歐拉定理的運用方法（1）分式： a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b) 當r=0,1時式子的值為0 當r=2時值為1 當r=3時值為a+b+c （2）復數(shù) 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2（3）三角形 設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面體 設(shè)v為頂點數(shù)，e為棱數(shù)，f是面數(shù)，則 v-e+f=2-2pp為歐拉示性數(shù)，例如 p=0 的多面體叫第零類多面體 p=1 的多面體叫第一類多面體 (5) 多邊形設(shè)一個二維幾何圖形的頂點數(shù)為V，劃分區(qū)域數(shù)為Ar，一筆畫筆數(shù)為B,則有：V+Ar-B=1(如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8)(6) 歐拉定理在同一個三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。其實歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個常用的。使用歐拉定理計算足球五邊形和六邊形數(shù)問：足球表面由五邊型和六邊型的皮革拼成，計算一共有多少個這樣的五邊型和六邊型？答：足球是多面體，滿足歐拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分別表示面,棱,頂點的個數(shù)設(shè)足球表面正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的面各有x個和y個，那么面數(shù)F＝x＋y棱數(shù)E＝(5x+6y)/2（每條棱由一塊黑皮子和一塊白皮子共用）頂點數(shù)V＝(5x+6y)/3（每個頂點由三塊皮子共用）由歐拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，解得x＝12所以共有12塊黑皮子所以，黑皮子一共有12×5＝60條棱，這60條棱都是與白皮子縫合在一起的對于白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起，所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的那么白皮子就應該一共有60×2＝120條邊，120÷6＝20所以共有20塊白皮子 經(jīng)濟學中的“歐拉定理”在西方經(jīng)濟學里，產(chǎn)量和生產(chǎn)要素L、K的關(guān)系表述為Q＝Q(L，K)，如果具體的函數(shù)形式是一次齊次的，那么就有：Q＝L(eQ/eL)＋K(eQ/eK)，換句話說，產(chǎn)品分配凈盡取決于Q能否表示為一個一次齊次函數(shù)形式。 因為eQ/eL＝MPL＝w/P被視為勞動對產(chǎn)量的貢獻，eQ/eK＝MPK＝r/P被視為資本對產(chǎn)量的貢獻，因此，此式被解釋為“產(chǎn)品分配凈盡定理”，也就是所有產(chǎn)品都被所有的要素恰好分配完而沒有剩余。因為形式上符合數(shù)學歐拉定理，所以稱為歐拉定理?！就嗬碚撝械臍W拉定理】設(shè)a,m∈N,(a,m)=1,則a^(f(m))≡1(mod m)(注:f(m)指模m的簡系個數(shù))歐拉公式在數(shù)學歷史上有很多公式都是歐拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)發(fā)現(xiàn)的，它們都叫做歐拉公式，它們分散在各個數(shù)學分支之中。 1、復變函數(shù)論里的歐拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位。將公式里的x換成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學里最重要的幾個數(shù)學聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率∏，兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學里常見的0。數(shù)學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。2、拓撲學里的歐拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù),X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù)。如果P可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹成一個球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一個接有h個環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。X(P)叫做P的拓撲不變量，是拓撲學研究的范圍。3、初等數(shù)論里的歐拉公式：歐拉φ函數(shù)：φ(n)是所有小于n的正整數(shù)里，和n互素的整數(shù)的個數(shù)。n是一個正整數(shù)。歐拉證明了下面這個式子：如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數(shù)，而且兩兩不等。則有φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)利用容斥原理可以證明它。