歐拉公式是什么?
歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式。其中最著(zhù)名的有，復變函數中的歐拉幅角公式，即將復數、指數函數與三角函數聯(lián)系起來(lái)。拓撲學(xué)中的歐拉多面體公式。初等數論中的歐拉函數公式。歐拉公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數、面數、棱數特有的規律，它只適用于簡(jiǎn)單多面體。常用的歐拉公式有復數函數e^ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr，物理學(xué)公式F=fe^ka等。復變函數e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關(guān)系，它在復變函數論里占有非常重要的地位。[2]歐拉公式e^ix=cosx+isinx的證明：因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展開(kāi)式中把x換成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=?i,(±i)^4=1……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!?ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx將公式里的x換成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個(gè)也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：恒等式e^iπ+1=0.這個(gè)恒等式也叫做歐拉公式，它是數學(xué)里最令人著(zhù)迷的一個(gè)公式，它將數學(xué)里最重要的幾個(gè)數字聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數：自然對數的底e，圓周率π，兩個(gè)單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及被稱(chēng)為人類(lèi)偉大發(fā)現之一的0。數學(xué)家們評價(jià)它是“上帝創(chuàng )造的公式”那么這個(gè)公式的證明就很簡(jiǎn)單了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。那么這里的π就是x，那么e^iπ=cosπ+isinπ=-1那么e^iπ+1=0這個(gè)公式實(shí)際上是前面公式的一個(gè)應用。分式 分式里的歐拉公式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 當r=0,1時(shí)式子的值為0 當r=2時(shí)值為1 當r=3時(shí)值為a+b+c三角公式 三角形中的歐拉公式： 設R為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則： d＾2=R＾2-2Rr拓撲學(xué)說(shuō) 拓撲學(xué)里的歐拉公式：拓撲學(xué) V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數，F是多面體P的面數，E是多面體P的棱的條數,X(P)是多面體P的歐拉示性數。 如果P可以同胚于一個(gè)球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個(gè)球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。[3] X(P)叫做P的歐拉示性數，是拓撲不變量，就是無(wú)論再怎么經(jīng)過(guò)拓撲變形也不會(huì )改變的量，是拓撲學(xué)研究的范圍。初等數論 初等數論里的歐拉公式： 歐拉φ函數：φ(n)是所有小于n的正整數里，和n互素的整數的個(gè)數。n是一個(gè)正整數。 歐拉證明了下面這個(gè)式子： 如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有 φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以證明它。物理學(xué)歐拉公式應用眾所周知，生活中處處存在著(zhù)摩擦力，歐拉測算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數之間的關(guān)系。現將歐拉這個(gè)頗有價(jià)值的公式列在這里：F=fe^ka其中，f表示我們施加的力，F表示與其對抗的力，e為自然對數的底，k表示繩與樁之間的摩擦系數，a表示纏繞轉角，即繩索纏繞形成的弧長(cháng)與弧半徑之比。 此外還有很多著(zhù)名定理都以歐拉的名字命名。
事實(shí)上，歐拉公式有平面與空間兩個(gè)部分：空間中的歐拉公式V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數，F是多面體P的面數，E是多面體P的棱的條數,X(P)是多面體P的歐拉示性數。如果P可以同胚于一個(gè)球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個(gè)球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。X(P)叫做P的歐拉示性數，是拓撲不變量，就是無(wú)論再怎么經(jīng)過(guò)拓撲變形也不會(huì )改變的量，是拓撲學(xué)研究的范圍。在多面體中的運用:簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數V、面數F及棱數E間有關(guān)系 這個(gè)公式叫歐拉公式。公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數、面數、棱數特有的規律。平面上的歐拉公式 ，其中V是圖形P的頂點(diǎn)個(gè)數，F是圖形P內的區域數，E是圖形的邊數。在非簡(jiǎn)單多面體中，歐位公式的形式為： 其中H指的是平面上不完整的個(gè)數，而C指的是獨立的多面體的個(gè)數，G指的是多面體被貫穿的個(gè)數。證明（1） 把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。 （2） 去掉多面體的一個(gè)面，就可以完全拉開(kāi)鋪在平面上而得到一個(gè)平面中的直線(xiàn)形，像圖中②的樣子。假設F′，E′和V′分別表示這個(gè)平面圖形的（簡(jiǎn)單）多邊形、邊和頂點(diǎn)的個(gè)數，我們只須證明F′-E′+V′=1。 （3） 對于這個(gè)平面圖形，進(jìn)行三角形分割，也就是說(shuō)，對于還不是三角形的多邊形陸續引進(jìn)對角線(xiàn)，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進(jìn)一條對角線(xiàn)，F′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當完全分割成三角形的時(shí)候，F′-E′+V′的值仍然沒(méi)有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。 （4） 如果某一個(gè)三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒(méi)有變。 （5） 如果某一個(gè)三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒(méi)有變。 （6） 這樣繼續進(jìn)行，直到只剩下一個(gè)三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時(shí)F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。 （7） 因為原來(lái)圖形是連在一起的，中間引進(jìn)的各種變化也不破壞這事實(shí)，因此最后圖形還是連在一起的，所以最后不會(huì )是分散在向外的幾個(gè)三角形，像圖中⑦那樣。 （8） 如果最后是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個(gè)三角形，也就是去掉1個(gè)三角形，3個(gè)邊和2個(gè)頂點(diǎn)。因此F′-E′+V′仍然沒(méi)有變。 即 成立，于是歐拉公式： 得證。[2]
