數(shù)學(xué)上的證明方法(高中數(shù)學(xué)常用證明方法)

1.高中數(shù)學(xué)常用證明方法有哪些

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法（簡(jiǎn)稱為求差法）和商值比較法（簡(jiǎn)稱為求商法）。 2.綜合法利用已知事實(shí)（已知條件、重要不等式或已證明的不等式）作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч保瑥摹耙阎笨础靶柚?，逐步推出“結(jié)論”。

3.分析法分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個(gè)條件是否具備，其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。

4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說(shuō)清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設(shè)A≤B，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語(yǔ)時(shí)，可以考慮用反證法。 5.換元法換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行代換，以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來(lái)新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。（1）三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示。此法如果運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題根據(jù)具體問(wèn)題，實(shí)施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設(shè)x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ（0≤r≤1）；③對(duì)于含有的不等式，由于|x|≤1，可設(shè)x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設(shè)x=taaA,y=tanB,z=tanC，其中A+B+C=π。（2）增量換元法：在對(duì)稱式（任意交換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變）和給定字母順序（如a>b>c等）的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過(guò)換元達(dá)到減元，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。如a+b=1，可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t進(jìn)行換元。 6.放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而借助一個(gè)或多個(gè)中間變量通過(guò)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有：（1）不等式的傳遞性；（2）等量加不等量為不等量；（3）同分子（分母）異分母（分子）的兩個(gè)分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應(yīng)用均值不等式進(jìn)行放縮。

2.數(shù)學(xué)題證明方法

一、證明方法 設(shè)N為任一大于6的偶數(shù)，Gn為不大于N/2的正整數(shù)，則有： N=(N-Gn)+Gn (1) 如果N-Gn和Gn同時(shí)不能被不大于√N(yùn)的所有質(zhì)數(shù)整除，則N-Gn和Gn同時(shí)為奇質(zhì)數(shù)。

設(shè)Gp(N)表示N-Gp和Gp同時(shí)為奇質(zhì)數(shù)的奇質(zhì)數(shù)Gp的個(gè)數(shù)，那么，只要證明： 當(dāng)N>M時(shí)，有Gp(N)>1，則哥德巴赫猜想當(dāng)N>M時(shí)成立。 二、雙數(shù)篩法 設(shè)Gn為1到N/2的自然數(shù)，Pi為不大于√N(yùn)的奇質(zhì)數(shù)，則Gn所對(duì)應(yīng)的自然數(shù)的總個(gè)數(shù)為N/2。

如N-Gn和Gn這兩個(gè)數(shù)中任一個(gè)數(shù)被奇質(zhì)數(shù)Pi整除，則篩去該Gn所對(duì)應(yīng)的自然數(shù)，由此，被奇質(zhì)數(shù)Pi篩去的Gn所對(duì)應(yīng)的自然數(shù)的個(gè)數(shù)不大于INT(N/Pi)，則剩下的Gn所對(duì)應(yīng)的自然數(shù)的個(gè)數(shù)不小于N/2-INT(N/Pi)，與Gn所對(duì)應(yīng)的自然數(shù)的總個(gè)數(shù)之比為R(Pi): R(Pi)≥（N/2-INT(N/Pi))/(N/2)≥（1-2/Pi）*INT((N/2)/Pi)/((N/2)/Pi) (2) 三、估計(jì)公式 由于所有質(zhì)數(shù)都是互質(zhì)的，可應(yīng)用集合論中獨(dú)立事件的交積公式，由公式（2）可得任一偶數(shù)表為兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和的表法的數(shù)量的估計(jì)公式： Gp(N)≥（N/4-1）*∏R(Pi)-1≥（N/4-1）*∏（1-2/Pi）*∏（1-2Pi/N）-1 (3) 式中∏R(Pi)表示所有不大于√N(yùn)的奇質(zhì)數(shù)所對(duì)應(yīng)的比值計(jì)算式的連乘。 四、簡(jiǎn)單證明 當(dāng)偶數(shù)N≥10000時(shí)，由公式（3）可得： Gp(N)≥（N/2-2-∑Pi）*(1-1/2)*∏（1-2/Pi）-1 ≥（N-2*√N(yùn)）/8*(1/√N(yùn))-1=（√N(yùn)-2）/8-1≥11>1 (4) 公式（4）表明：每一個(gè)大于10000的偶數(shù)表為兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和至少有11種表法。

經(jīng)驗(yàn)證明：每一個(gè)大于4且不大于10000的偶數(shù)都可表為兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。 最后結(jié)論：每一個(gè)大于4的偶數(shù)都可表為兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。

3.初中數(shù)學(xué)證明技巧

要掌握初中數(shù)學(xué)幾何證明題技巧，熟練運(yùn)用和記憶如下原理是關(guān)鍵。

下面歸類一下，多做練習(xí)，熟能生巧，遇到幾何證明題能想到采用哪一類型原理來(lái)解決問(wèn)題。一、證明兩線段相等 1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。

2.同一三角形中等角對(duì)等邊。 3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。 5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。 7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。

8.過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。 *9.同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。

*10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。 11.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。

*12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長(zhǎng)相等。 13.等于同一線段的兩條線段相等。

二、證明兩個(gè)角相等 1.兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 2.同一三角形中等邊對(duì)等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。 4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。

5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。 *6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎?duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。

*7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。 8.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

*9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。 10.等于同一角的兩個(gè)角相等。

三、證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。 2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。

3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。 4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。 6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。 8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。 *10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。

*11.利用半圓上的圓周角是直角。 四、證明兩直線平行 1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。 3.平行四邊形的對(duì)邊平行。

4.三角形的中位線平行于第三邊。 5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。 7.一條直線截三角形的兩邊（或延長(zhǎng)線）所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。

五、證明線段的和差倍分 1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。 2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。

3.延長(zhǎng)短線段為其二倍，再證明它與較長(zhǎng)的線段相等。 4.取長(zhǎng)線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。 六、證明 角的和差倍分 1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。

2.利用角平分線的定義。 3.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

七、證明線段不等 1.同一三角形中，大角對(duì)大邊。 2.垂線段最短。

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 4.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。

*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。 6.全量大于它的任何一部分。

八、證明兩角的不等1.同一三角形中，大邊對(duì)大角。 2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。

3.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。 *4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。

5.全量大于它的任何一部分。 九、證明比例式或等積式 1.利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例。

2.利用內(nèi)外角平分線定理。 3.平行線截線段成比例。

4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。 *5.與圓有關(guān)的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。

6.利用比利式或等積式化得。 十、證明四點(diǎn)共圓*1.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。

*2.外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓。 *3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。

*4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。 *5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓 希望對(duì)你有所幫助，祝您學(xué)習(xí)進(jìn)步。