第一張數(shù)學(xué)學(xué)科(初一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章知識(shí)整理)
1.初一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章知識(shí)整理
第一章 整式的運(yùn)算 一. 整式 ※1. 單項(xiàng)式 ①由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。
單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。 ②單項(xiàng)式的系數(shù)是這個(gè)單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)，作為單項(xiàng)式的系數(shù)，必須連同數(shù)字前面的性質(zhì)符號(hào)，如果一個(gè)單項(xiàng)式只是字母的積，并非沒有系數(shù). ③一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù). ※2.多項(xiàng)式 ①幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).其中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).一個(gè)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù). ②單項(xiàng)式和多項(xiàng)式都有次數(shù)，含有字母的單項(xiàng)式有系數(shù)，多項(xiàng)式?jīng)]有系數(shù).多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都是單項(xiàng)式，一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式作為加數(shù)的單項(xiàng)式的個(gè)數(shù).多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都有它們各自的次數(shù)，但是它們的次數(shù)不可能都作是為這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，一個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)只有一個(gè)，它是所含各項(xiàng)的次數(shù)中最高的那一項(xiàng)次數(shù). ※3.整式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式. 二. 整式的加減 ¤1. 整式的加減實(shí)質(zhì)上就是去括號(hào)后，合并同類項(xiàng)，運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式或是單項(xiàng)式. ¤2. 括號(hào)前面是“-”號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)，一個(gè)數(shù)與多項(xiàng)式相乘時(shí)，這個(gè)數(shù)與括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要相乘. 三. 同底數(shù)冪的乘法 ※同底數(shù)冪的乘法法則： （m,n都是正數(shù)）是冪的運(yùn)算中最基本的法則，在應(yīng)用法則運(yùn)算時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)： ①法則使用的前提條件是：冪的底數(shù)相同而且是相乘時(shí)，底數(shù)a可以是一個(gè)具體的數(shù)字式字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)或多項(xiàng)式； ②指數(shù)是1時(shí)，不要誤以為沒有指數(shù)； ③不要將同底數(shù)冪的乘法與整式的加法相混淆，對(duì)乘法，只要底數(shù)相同指數(shù)就可以相加；而對(duì)于加法，不僅底數(shù)相同，還要求指數(shù)相同才能相加； ④當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，法則可推廣為 （其中m、n、p均為正數(shù)）； ⑤公式還可以逆用： （m、n均為正整數(shù)） 四.冪的乘方與積的乘方 ※1. 冪的乘方法則： （m,n都是正數(shù)）是冪的乘法法則為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的，但兩者不能混淆. ※2. . ※3. 底數(shù)有負(fù)號(hào)時(shí)，運(yùn)算時(shí)要注意，底數(shù)是a與（-a）時(shí)不是同底，但可以利用乘方法則化成同底， 如將（-a）3化成-a3 ※4.底數(shù)有時(shí)形式不同，但可以化成相同。
※5.要注意區(qū)別（ab）n與（a+b）n意義是不同的，不要誤以為（a+b）n=an+bn(a、b均不為零)。 ※6.積的乘方法則：積的乘方，等于把積每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即 （n為正整數(shù)）。
※7.冪的乘方與積乘方法則均可逆向運(yùn)用。 五. 同底數(shù)冪的除法 ※1. 同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即 （a≠0,m、n都是正數(shù)，且m>n）. ※2. 在應(yīng)用時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)： ①法則使用的前提條件是“同底數(shù)冪相除”而且0不能做除數(shù)，所以法則中a≠0. ②任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1，即 ，如 ，（-2.50=1），則00無意義. ③任何不等于0的數(shù)的-p次冪（p是正整數(shù)），等于這個(gè)數(shù)的p的次冪的倒數(shù)，即 （ a≠0,p是正整數(shù)）， 而0-1,0-3都是無意義的；當(dāng)a>0時(shí)，a-p的值一定是正的； 當(dāng)a<0時(shí)，a-p的值可能是正也可能是負(fù)的，如 ， ④運(yùn)算要注意運(yùn)算順序. 六. 整式的乘法 ※1. 單項(xiàng)式乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。
單項(xiàng)式乘法法則在運(yùn)用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： ①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。這時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤的是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆； ②相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)的乘法法則； ③只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式； ④單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用； ⑤單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。
※2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘 單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，是通過乘法對(duì)加法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，即單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： ①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同； ②運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面。
2.初一數(shù)學(xué)第一章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖
無限不循環(huán)小數(shù)和開根開不盡的數(shù)叫無理數(shù) 整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) 數(shù)學(xué)上，有理數(shù)是兩個(gè)整數(shù)的比，通常寫作 a/b，這里 b 不為零。
分?jǐn)?shù)是有理數(shù)的通常表達(dá)方法，而整數(shù)是分母為1的分?jǐn)?shù)，當(dāng)然亦是有理數(shù)。 數(shù)學(xué)上，有理數(shù)是一個(gè)整數(shù) a 和一個(gè)非零整數(shù) b 的比（ratio），通常寫作 a/b，故又稱作分?jǐn)?shù)。
希臘文稱為 λογο? ，原意為“成比例的數(shù)”（rational number），但中文翻譯不恰當(dāng)，逐漸變成“有道理的數(shù)”。不是有理數(shù)的實(shí)數(shù)遂稱為無理數(shù)。
所有有理數(shù)的集合表示為 Q，有理數(shù)的小數(shù)部分有限或?yàn)檠h(huán)。 理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)。
如圓周率、2的平方根等。 實(shí)數(shù)（real munber）分為有理數(shù)和無理數(shù)（irrational number）。
·無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別： 1、把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)， 比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)， 比如√2=1.414213562…………根據(jù)這一點(diǎn)，人們把無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù). 2、所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無理數(shù)不能。根據(jù)這一點(diǎn)，有人建議給無理數(shù)摘掉“無理”的帽子，把有理數(shù)改叫為“比數(shù)”，把無理數(shù)改叫為“非比數(shù)”。
本來嘛，無理數(shù)并不是不講道理，只是人們最初對(duì)它不太了解罷了。 利用有理數(shù)和無理數(shù)的主要區(qū)別，可以證明√2是無理數(shù)。
證明：假設(shè)√2不是無理數(shù)，而是有理數(shù)。 既然√2是有理數(shù)，它必然可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的形式： 實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)。
其中無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)和開根開不盡的數(shù)，有理數(shù)就包括無限循環(huán)小數(shù)、有限小數(shù)、整數(shù) 自然數(shù)（natural number） 用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù) 。 即用數(shù)碼0,1,2,3,4，……所表示的數(shù) 。
自然數(shù)由0開始 ， 一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮集合。自然數(shù)集有加法和乘法運(yùn)算，兩個(gè)自然數(shù)相加或相乘的結(jié)果仍為自然數(shù)，也可以作減法或除法，但相減和相除的結(jié)果未必都是自然數(shù)，所以減法和除法運(yùn)算在自然數(shù)集中并不是總能成立的。
自然數(shù)是人們認(rèn)識(shí)的所有數(shù)中最基本的一類，為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家建立了自然數(shù)的兩種等價(jià)的理論棗自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論，使自然數(shù)的概念、運(yùn)算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述。 序數(shù)理論是意大利數(shù)學(xué)家G.皮亞諾提出來的。
他總結(jié)了自然數(shù)的性質(zhì)，用公理法給出自然數(shù)的如下定義。 自然數(shù)集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個(gè)元素，記作1。
②N中每一個(gè)元素都能在 N 中找到一個(gè)元素作為它的后繼者。③ 1是0的后繼者。
④0不是任何元素的后繼者。 ⑤不同元素有不同的后繼者。
⑥（歸納公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M=N。 基數(shù)理論則把自然數(shù)定義為有限集的基數(shù)，這種理論提出，兩個(gè)可以在元素之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的有限集具有共同的數(shù)量特征，這一特征叫做基數(shù) 。
這樣 ，所有單元素集{x},{y},{a},等具有同一基數(shù) ， 記作1 。類似，凡能與兩個(gè)手指頭建立一一對(duì)應(yīng)的集合，它們的基數(shù)相同，記作2，等等 。
自然數(shù)的加法 、乘法運(yùn)算可以在序數(shù)或基數(shù)理論中給出定義，并且兩種理論下的運(yùn)算是一致的。 自然數(shù)在日常生活中起了很大的作用，人們廣泛使用自然數(shù)。
“0”是否包括在自然數(shù)之內(nèi)存在爭(zhēng)議，有人認(rèn)為自然數(shù)為正整數(shù)，即從1開始算起；而也有人認(rèn)為自然數(shù)為非負(fù)整數(shù)，即從0開始算起。目前關(guān)于這個(gè)問題尚無一致意見。
不過，在數(shù)論中，多采用前者；在集合論中，則多采用后者。目前，我國(guó)中小學(xué)教材將0歸為自然數(shù)！ 自然數(shù)是整數(shù)，但整數(shù)不全是自然數(shù)。
例如：-1 -2 -3。
是整數(shù) 而不是自然數(shù) 全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 所謂質(zhì)數(shù)或稱素?cái)?shù)，就是一個(gè)正整數(shù)，除了本身和 1 以外并沒有任何其他因子。例如 2,3,5,7 是質(zhì)數(shù)，而 4,6,8,9 則不是，后者稱為合成數(shù)或合數(shù)。
從這個(gè)觀點(diǎn)可將整數(shù)分為兩種，一種叫質(zhì)數(shù)，一種叫合成數(shù)。（有人認(rèn)為數(shù)目字 1 不該稱為質(zhì)數(shù)）著名的高斯「唯一分解定理」說，任何一個(gè)整數(shù)。
可以寫成一串質(zhì)數(shù)相乘的積。第五章： 本章重點(diǎn)：一元一次不等式的解法， 本章難點(diǎn)：了解不等式的解集和不等式組的解集的確定，正確運(yùn)用 不等式基本性質(zhì)3。
本章關(guān)鍵：徹底弄清不等式和等式的基本性質(zhì)的區(qū)別. （1）不等式概念：用不等號(hào)（“≠”、“”）表示的不 等關(guān)系的式子叫做不等式 （2）不等式的基本性質(zhì)，它是解不等式的理論依據(jù). （3）分清不等式的解集和解不等式是兩個(gè)完全不同的概念. （4）不等式的解一般有無限多個(gè)數(shù)值，把它們表示在數(shù)軸上，（5）一元一次不等式的概念、解法是本章的重點(diǎn)和核心 （6）一元一次不等式的解集，在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集 （7）由兩個(gè)一元一次不等式組成的一元一次不等式組.一元一次不等式組可以由幾個(gè)（同未知數(shù)的）一元一次不等式組成 （8）.利用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集 第六章： 1.二元一次方程，二元一次方程組以及它的解，明確二元一次方程組的解是一對(duì)未知數(shù)的值。
3.初一數(shù)學(xué)第一章復(fù)習(xí)要點(diǎn)
俊狼獵英團(tuán)隊(duì)為您解答
一個(gè)工具：數(shù)軸；
兩個(gè)符號(hào)：負(fù)號(hào)、絕對(duì)值符號(hào)；
五個(gè)概念：負(fù)數(shù)、有理數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值、非負(fù)數(shù)；（倒數(shù)小學(xué)就有）
五種運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方；
科學(xué)記數(shù)法、有效數(shù)字。
運(yùn)算不說， 所有概念中基本都與數(shù)軸有關(guān)：
⑴有理數(shù)都羅列在數(shù)軸上，可以用來有理數(shù)的一種分類（正數(shù)、0、負(fù)數(shù)），可看出相反數(shù)，可看出絕對(duì)值的意義，可比較大?。ㄓ疫叺臄?shù)比左邊的大）。
⑵倒數(shù)是小學(xué)的繼續(xù)。
⑶運(yùn)算注意計(jì)算的順序。
提供一組練習(xí)：（概念辨析方面）
有理數(shù)的分類
判斷正誤：
一個(gè)有理數(shù)非正即負(fù)。
一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)
有理數(shù)指整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零這五類數(shù)
有理數(shù)是自然數(shù)和負(fù)數(shù)這兩類數(shù)的統(tǒng)稱。
①|(zhì)2|=__,|-2|=___,|0|=__
②用自然語言說出絕對(duì)值的意義
③用字母表示絕對(duì)值的意義
④絕對(duì)值的幾何意義
如果|x|=2，則x=__,|x|=-2,x=____
一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，這個(gè)數(shù)一定是（ ）
數(shù)軸上有一點(diǎn)到原點(diǎn)距離為5，這點(diǎn)表示數(shù)（ ）
絕對(duì)值等于4的數(shù)是（ ），絕對(duì)值小于3的整數(shù)是（ ）
任何有理數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)，對(duì)嗎？
任何有理數(shù)的絕對(duì)值不都是正數(shù)，對(duì)嗎？
任何有理數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)，對(duì)嗎？
例題：
①若a是有理數(shù)，則-a是（ ）
是負(fù)數(shù)，B）不是負(fù)數(shù)，C）是a的相反數(shù)，D）不等于0.
②如果兩個(gè)數(shù)的差是正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)（ ）
A）都是正數(shù)，B）都不是正數(shù)，C）不都是正數(shù)，D）以上都有可能。
③若ab=0，則（ ）
A)a一定是0,B)b一定是0,C)a是0或b是0,D)a、b中至少一個(gè)是0。
④若|a|+|b|=0，那么
A)a=0,B)b=0,C)a=0或b=0,D)a=0且b=0.
練習(xí)：
1、一個(gè)數(shù)a與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的___________
2、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值_________
3、一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越小，則該數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，離原點(diǎn)越___________
4、-的絕對(duì)值是_________
5、絕對(duì)值最小的數(shù)是_________
6、絕對(duì)值等于5的數(shù)是___________，它們互為_____________
7、若b8、如果 | a | = -a ，那么 a ______0
9、如果 | a | = a ，那么 a ______0
10，已知 | a-2 | + |b+3 | + | c+5 | = 0,
則 a =_____,b =_______,c = _______
11、_______的倒數(shù)是它本身，_______的絕對(duì)值是它本身。
12、a+b=0，則a與b_______、
13，絕對(duì)值是2的數(shù)有_____個(gè)，它們是_____。
14、相反數(shù)等于它本身的數(shù)是________
15、-3.5的倒數(shù)是_____， 相反數(shù)是______.
17、若|b+1|=3，則b=( )
(A)2 (B)- 4 (C)2 或- 4 (D)以上答案都不對(duì)
18、下列說法不正確的是 （ ）
(A)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù) （B） 1是絕對(duì)值最小的數(shù)
(C)一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù) （D）0的絕對(duì)值是0
19、絕對(duì)值小于3的所有整數(shù)的和是（ ）
(A)3 (B)-3 (C)0 (D)6
20、一個(gè)有理數(shù)的倒數(shù)是它本身，這個(gè)數(shù)是（ ）
(A)0 (B) 1 (C) (D)1或-1
21、若|x+2|=-a，則a 是 （ ）
A.0 B.正數(shù) C.負(fù)數(shù) D.負(fù)數(shù)或0
22.在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)中， _______的數(shù)總比________的數(shù)大。
4.初一數(shù)學(xué)第一章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖
無限不循環(huán)小數(shù)和開根開不盡的數(shù)叫無理數(shù) 整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) 數(shù)學(xué)上，有理數(shù)是兩個(gè)整數(shù)的比，通常寫作 a/b，這里 b 不為零。
分?jǐn)?shù)是有理數(shù)的通常表達(dá)方法，而整數(shù)是分母為1的分?jǐn)?shù)，當(dāng)然亦是有理數(shù)。 數(shù)學(xué)上，有理數(shù)是一個(gè)整數(shù) a 和一個(gè)非零整數(shù) b 的比（ratio），通常寫作 a/b，故又稱作分?jǐn)?shù)。
希臘文稱為 λογο? ，原意為“成比例的數(shù)”（rational number），但中文翻譯不恰當(dāng)，逐漸變成“有道理的數(shù)”。不是有理數(shù)的實(shí)數(shù)遂稱為無理數(shù)。
所有有理數(shù)的集合表示為 Q，有理數(shù)的小數(shù)部分有限或?yàn)檠h(huán)。 理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)。
如圓周率、2的平方根等。 實(shí)數(shù)（real munber）分為有理數(shù)和無理數(shù)（irrational number）。
·無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別： 1、把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)， 比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)， 比如√2=1.414213562…………根據(jù)這一點(diǎn)，人們把無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù). 2、所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無理數(shù)不能。根據(jù)這一點(diǎn)，有人建議給無理數(shù)摘掉“無理”的帽子，把有理數(shù)改叫為“比數(shù)”，把無理數(shù)改叫為“非比數(shù)”。
本來嘛，無理數(shù)并不是不講道理，只是人們最初對(duì)它不太了解罷了。 利用有理數(shù)和無理數(shù)的主要區(qū)別，可以證明√2是無理數(shù)。
證明：假設(shè)√2不是無理數(shù)，而是有理數(shù)。 既然√2是有理數(shù)，它必然可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的形式： 實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)。
其中無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)和開根開不盡的數(shù)，有理數(shù)就包括無限循環(huán)小數(shù)、有限小數(shù)、整數(shù) 自然數(shù)（natural number） 用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù) 。 即用數(shù)碼0,1,2,3,4，……所表示的數(shù) 。
自然數(shù)由0開始 ， 一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮集合。自然數(shù)集有加法和乘法運(yùn)算，兩個(gè)自然數(shù)相加或相乘的結(jié)果仍為自然數(shù)，也可以作減法或除法，但相減和相除的結(jié)果未必都是自然數(shù)，所以減法和除法運(yùn)算在自然數(shù)集中并不是總能成立的。
自然數(shù)是人們認(rèn)識(shí)的所有數(shù)中最基本的一類，為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家建立了自然數(shù)的兩種等價(jià)的理論棗自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論，使自然數(shù)的概念、運(yùn)算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述。 序數(shù)理論是意大利數(shù)學(xué)家G.皮亞諾提出來的。
他總結(jié)了自然數(shù)的性質(zhì)，用公理法給出自然數(shù)的如下定義。 自然數(shù)集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個(gè)元素，記作1。
②N中每一個(gè)元素都能在 N 中找到一個(gè)元素作為它的后繼者。③ 1是0的后繼者。
④0不是任何元素的后繼者。 ⑤不同元素有不同的后繼者。
⑥（歸納公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M=N。 基數(shù)理論則把自然數(shù)定義為有限集的基數(shù)，這種理論提出，兩個(gè)可以在元素之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的有限集具有共同的數(shù)量特征，這一特征叫做基數(shù) 。
這樣 ，所有單元素集{x},{y},{a},等具有同一基數(shù) ， 記作1 。類似，凡能與兩個(gè)手指頭建立一一對(duì)應(yīng)的集合，它們的基數(shù)相同，記作2，等等 。
自然數(shù)的加法 、乘法運(yùn)算可以在序數(shù)或基數(shù)理論中給出定義，并且兩種理論下的運(yùn)算是一致的。 自然數(shù)在日常生活中起了很大的作用，人們廣泛使用自然數(shù)。
“0”是否包括在自然數(shù)之內(nèi)存在爭(zhēng)議，有人認(rèn)為自然數(shù)為正整數(shù)，即從1開始算起；而也有人認(rèn)為自然數(shù)為非負(fù)整數(shù)，即從0開始算起。目前關(guān)于這個(gè)問題尚無一致意見。
不過，在數(shù)論中，多采用前者；在集合論中，則多采用后者。目前，我國(guó)中小學(xué)教材將0歸為自然數(shù)！ 自然數(shù)是整數(shù)，但整數(shù)不全是自然數(shù)。
例如：-1 -2 -3。
是整數(shù) 而不是自然數(shù) 全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 所謂質(zhì)數(shù)或稱素?cái)?shù)，就是一個(gè)正整數(shù)，除了本身和 1 以外并沒有任何其他因子。例如 2,3,5,7 是質(zhì)數(shù)，而 4,6,8,9 則不是，后者稱為合成數(shù)或合數(shù)。
從這個(gè)觀點(diǎn)可將整數(shù)分為兩種，一種叫質(zhì)數(shù)，一種叫合成數(shù)。（有人認(rèn)為數(shù)目字 1 不該稱為質(zhì)數(shù)）著名的高斯「唯一分解定理」說，任何一個(gè)整數(shù)。
可以寫成一串質(zhì)數(shù)相乘的積。第五章： 本章重點(diǎn)：一元一次不等式的解法， 本章難點(diǎn)：了解不等式的解集和不等式組的解集的確定，正確運(yùn)用 不等式基本性質(zhì)3。
本章關(guān)鍵：徹底弄清不等式和等式的基本性質(zhì)的區(qū)別. （1）不等式概念：用不等號(hào)（“≠”、“”）表示的不 等關(guān)系的式子叫做不等式 （2）不等式的基本性質(zhì)，它是解不等式的理論依據(jù). （3）分清不等式的解集和解不等式是兩個(gè)完全不同的概念. （4）不等式的解一般有無限多個(gè)數(shù)值，把它們表示在數(shù)軸上，（5）一元一次不等式的概念、解法是本章的重點(diǎn)和核心 （6）一元一次不等式的解集，在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集 （7）由兩個(gè)一元一次不等式組成的一元一次不等式組.一元一次不等式組可以由幾個(gè)（同未知數(shù)的）一元一次不等式組成 （8）.利用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集 第六章： 1.二元一次方程，二元一次方程組以及它的解，明確二元一次方程組的解是一對(duì)未知數(shù)的值。
5.高中數(shù)學(xué)都需要哪些初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)
初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)高中數(shù)學(xué)都需要。
初中數(shù)學(xué)內(nèi)容： 代數(shù)部分： 1、有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)。 2、整式、分式、二次根式。
3、一元一次方程、一元二次方程、二（三）元一次方程組、二元二次方程組、分式方程、一元一次不等式。 4、函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)）。
5、統(tǒng)計(jì)初步。 幾何部分： 1、線段、角。
2、相交線、平行線。 3、三角形。
4、四邊形。 5、相似形。
6、圓。 高中數(shù)學(xué)是全國(guó)高中生學(xué)習(xí)的一門學(xué)科。
包括《集合與函數(shù)》《三角函數(shù)》《不等式》《數(shù)列》《復(fù)數(shù)》《排列、組合、二項(xiàng)式定理》《立體幾何》《平面解析幾何》等部分。 高中數(shù)學(xué)知識(shí)框架： 在必修一里面主要學(xué)習(xí)了集合，包含集合的含義與表示，集合的基本關(guān)系，集合的基本運(yùn)算；在剩下的幾個(gè)章節(jié)則學(xué)習(xí)了幾個(gè)重要的基本初等函數(shù) 在必修二里面則是學(xué)習(xí)了立體幾何初步：包含簡(jiǎn)單幾何體與簡(jiǎn)單多面體的三視圖，空間圖形的位置關(guān)系。
部分規(guī)則空間幾何體的體積與表面積，第二章以數(shù)形結(jié)合的形式向大家介紹了圓和直線的性質(zhì)，理科生則深入學(xué)習(xí)了空間直角坐標(biāo)系 在必修三部分是對(duì)簡(jiǎn)單的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)進(jìn)行了學(xué)習(xí)。和算法初步進(jìn)行了學(xué)習(xí)。
必修四開端又學(xué)習(xí)了另一種基本初等函數(shù)--三角函數(shù)，在高中階段主要是學(xué)習(xí)了，正弦，余弦，正切三個(gè)三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像及三者之間的關(guān)系。包括三角函數(shù)限，弧度制，誘導(dǎo)公式等。
第二章則是學(xué)習(xí)了平面向量這一數(shù)學(xué)工具，這一章學(xué)習(xí)了向量的表示，向量的模和單位化，數(shù)量積和簡(jiǎn)單應(yīng)用。在第三章又深入學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的半角公式，和角，差角公式，2倍角公式。
在進(jìn)一步延伸后又學(xué)習(xí)了降冪公式。 必修五第一章主要講了等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，通項(xiàng)公式與前N項(xiàng)和的運(yùn)算，第二章屬平面解析幾何的內(nèi)容，主要介紹了正弦，余弦定理，第三章主要學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)與概念與LP問題初步（圖解法）。
選修2-1第一章是常用邏輯用語，主要講述了充分條件，必要條件和“或，且，非”等邏輯量詞，在第二章節(jié)是又進(jìn)一步講述了空間解析幾何與向量代數(shù)，理科生又多學(xué)習(xí)了二面角定理。第三章則是介紹了圓錐曲線有關(guān)知識(shí)，包括橢圓，雙曲線，拋物線的定義性質(zhì)，圖像等。
選修2—2：第一章是推理與證明：介紹了歸納推理與類比推理，綜合法，分析法，反證法，和歸納法。第二章和第三章則是導(dǎo)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)與運(yùn)用。
第四章介紹了簡(jiǎn)單的微積分性質(zhì)與運(yùn)用（曲邊梯形面積和與簡(jiǎn)單幾何體體積）；第五章介紹了數(shù)系的擴(kuò)充。主要介紹了復(fù)數(shù)的表示，性質(zhì)，運(yùn)算等 選修2-3：主要為理科生學(xué)習(xí)，第一章為排列與組合，主要學(xué)習(xí)了科學(xué)技術(shù)原理，排列，組合和二項(xiàng)式定理。
第二章則介紹了二項(xiàng)分布，正態(tài)分布等常見的概率分布，第三章則是介紹了獨(dú)立性檢驗(yàn)與簡(jiǎn)單的線性回歸分析。
6.初中數(shù)學(xué)的所有基礎(chǔ)知識(shí)
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第一章數(shù)與式
考點(diǎn)一、概念及分類1、實(shí)數(shù)按定義分類正整數(shù)
整數(shù)零
有理數(shù)負(fù)整數(shù)實(shí)數(shù)正分?jǐn)?shù)
分?jǐn)?shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)
負(fù)分?jǐn)?shù)
正無理數(shù)
無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)
負(fù)無理數(shù)
2、實(shí)數(shù)按正負(fù)分類
正整數(shù)
正有理數(shù)
正實(shí)數(shù)正分?jǐn)?shù)
正無理數(shù)
實(shí)數(shù)零負(fù)整數(shù)
負(fù)有理數(shù)
負(fù)分?jǐn)?shù)
負(fù)實(shí)數(shù)
負(fù)無理數(shù)
在理解無理數(shù)時(shí)，要抓住“無限不循環(huán)”這一本質(zhì)，歸納起來有四類：
(1)開方開不盡的數(shù)，如等；
(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡(jiǎn)后含有π的數(shù)，如+8等；
(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等，一定要注意后面要帶省略號(hào)；
(4)某些三角函數(shù)，如sin60o等
考點(diǎn)二、數(shù)軸、倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值1、數(shù)軸定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。對(duì)應(yīng)：實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。2、倒數(shù)
如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。a的倒數(shù)為。3、相反數(shù)：如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0,a=—b，反之亦成立。相反數(shù)等于本身的數(shù)是0，任何數(shù)都有相反數(shù)。a的相反數(shù)為-a。
4、絕對(duì)值
一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，|a|≥0。零的絕對(duì)值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a(4.考點(diǎn)三、因式分解（1（（考點(diǎn)一、平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)（3如果自變量的取值范圍是反過來，解一元二次方程（1一條線段可用它的端點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母
7.基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是學(xué)什么
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一、問題的提出 數(shù)學(xué)是科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)，在信息社會(huì)中，數(shù)學(xué)為商業(yè)、財(cái)政、健康和國(guó)防做出貢獻(xiàn)，為學(xué)生打開職業(yè)之門，使人們能夠做出充分依據(jù)的決定。我們比以往任何時(shí)候都更加需要數(shù)學(xué)的思考。
數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)重在數(shù)學(xué)教育。從新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)到問題解決，從大眾數(shù)學(xué)到各國(guó)紛紛興起的數(shù)學(xué)課程改革，人們一直在致力于更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。
但“已有的學(xué)校改革運(yùn)動(dòng)忽略了明顯的一點(diǎn)，即教師知道什么和他們能做什，么對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)什么有至關(guān)重要的作用”。數(shù)學(xué)課程改革除了先進(jìn)的理念做指導(dǎo)之外，關(guān)鍵在于教師。
教師是具體的執(zhí)行者，如果教師沒有積極參與到課程改革中來，或者對(duì)新理念僅表示欣賞而沒付出實(shí)際行動(dòng)的話，改革只會(huì)是一個(gè)美麗的光環(huán)。所以說建設(shè)一只高素質(zhì)的數(shù)學(xué)教師隊(duì)伍是數(shù)學(xué)教育改革的關(guān)鍵，是振興數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才的關(guān)鍵。
而數(shù)學(xué)教師專業(yè)化是各國(guó)數(shù)學(xué)教師發(fā)展的共同趨勢(shì)。1980年以“教師專業(yè)發(fā)展”為主題的《世界教育年鑒》指出：“教師專業(yè)化有兩個(gè)目標(biāo)，一是把教師視社會(huì)分層中的一個(gè)階層，因此，教師專業(yè)化的目標(biāo)在于爭(zhēng)取專業(yè)的地位和權(quán)利，力求集體向上流動(dòng)。
第二個(gè)目標(biāo)是教師提高教學(xué)水平及擴(kuò)張個(gè)人知識(shí)和技能的發(fā)展方向”從第二個(gè)目標(biāo)來講數(shù)學(xué)教師專業(yè)化可以看成是數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展。對(duì)于這方面已有多篇文章進(jìn)行了研討，但較多的是集中于高師的教學(xué)改革。
但“總體上數(shù)學(xué)教師（無論年輕的或是年長(zhǎng)的）都認(rèn)為他們的職前培訓(xùn)在他們的教學(xué)，知識(shí)方面都不是最重要的來源，他們的教學(xué)知識(shí)主要是來自自己的工作經(jīng)驗(yàn)或反思，以及他們和同事的日常交流”。這既說明了高師改革的重要性更說明了我們應(yīng)該更加注意教師職后的專業(yè)發(fā)展。
另外，一種職業(yè)的專業(yè)化既是一種認(rèn)識(shí)更是一種奮斗的過程，即是一種職業(yè)資格的認(rèn)定，更是一個(gè)終生學(xué)習(xí)，不斷更新的自覺追求。從這個(gè)方面講我們更應(yīng)該重視數(shù)學(xué)教師職后的專業(yè)發(fā)展。
二、數(shù)學(xué)教師的專業(yè)知識(shí)和專業(yè)能力 顯然數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展首先要確定的是作為一個(gè)專業(yè)的數(shù)學(xué)教師需要哪些知識(shí)和能力？ 在1992年舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，拉潘和西勒—盧賓斯基強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教師至少需要數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育學(xué)、學(xué)生這三種知識(shí)才能有效地進(jìn)行教學(xué)，并指出“數(shù)學(xué)教師是在這些知識(shí)的領(lǐng)域的交集上進(jìn)行工作的，正是不同方面的思考的相互作用讓教師形成了言之有據(jù)的教學(xué)上的推理”。在數(shù)學(xué)教育在一定程度上成為一門相對(duì)獨(dú)立的學(xué)科和已有相當(dāng)一部分人從事數(shù)學(xué)教育研究的今天，我們認(rèn)為有必要對(duì)三個(gè)知識(shí)的交集部分作更加清楚的論述。
具體來說我們認(rèn)為一個(gè)專業(yè)的數(shù)學(xué)教師至少要擁有下列知識(shí)。 1 數(shù)學(xué)教育哲學(xué)。
與人生觀、世界觀對(duì)人的重要性一樣，數(shù)學(xué)教育哲學(xué)對(duì)如何進(jìn)行教學(xué)有著十分重要的影響，它包含什么是數(shù)學(xué)？ 為什么進(jìn)行數(shù)學(xué)教育？ 應(yīng)當(dāng)怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)教育？ 三個(gè)基本的問題。與具體的知識(shí)相比，數(shù)學(xué)教育哲學(xué)強(qiáng)調(diào)的是元認(rèn)知的一部分，它滲透著隱含的認(rèn)識(shí)論與本體論。
2 作為學(xué)科的數(shù)學(xué)知識(shí)。一個(gè)專業(yè)的數(shù)學(xué)教師需要多少數(shù)學(xué)知識(shí)是很難回答的問題。
但顯然專業(yè)的數(shù)學(xué)教師應(yīng)該需要貨源充足和組織良好的數(shù)學(xué)知識(shí)倉庫，其中良好的組織比數(shù)學(xué)知識(shí)更加重要。他應(yīng)該能站在高觀點(diǎn)下審視所教的數(shù)學(xué)知識(shí)，知道它們之間本質(zhì)的聯(lián)系和來龍去脈，應(yīng)該有將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)榻逃龜?shù)學(xué)知識(shí)的能力，在不失嚴(yán)謹(jǐn)性的條件下將數(shù)學(xué)知識(shí)以最便于學(xué)生理解的形式教給學(xué)生。
張景中院士認(rèn)為，將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)橛糜诮逃臄?shù)學(xué)不僅僅是教育的問題，更是數(shù)學(xué)的問題。 3 數(shù)學(xué)教育學(xué)和數(shù)學(xué)教育心理學(xué)。
數(shù)學(xué)教師掌握的不僅僅是一般的教育學(xué)和心理學(xué)而應(yīng)該是它們與數(shù)學(xué)的整合。從開始的數(shù)學(xué)教學(xué)法到現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教育研究，數(shù)學(xué)教育學(xué)在我國(guó)已成為一門比較成熟的學(xué)科。
而數(shù)學(xué)教育心理學(xué)則是一門較新的學(xué)科。過去我們只關(guān)心教而忽視學(xué)生學(xué)的心理，雖然總結(jié)了一些經(jīng)驗(yàn)卻因?yàn)槿狈W(xué)生學(xué)習(xí)心理的研究未能上升到理論水平，而不能更好地發(fā)展運(yùn)用。
越來越多的研究表明，只有對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理有較為清晰地了解，才能使學(xué)生更好的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和發(fā)展數(shù)學(xué)能力。 4 數(shù)學(xué)教育技術(shù)學(xué)。
將數(shù)學(xué)教育技術(shù)學(xué)單獨(dú)列為一項(xiàng)，是因?yàn)橐郧暗难芯空吆苌偬岬浇處煹募夹g(shù)知識(shí)，更為重要的是興起的信息技術(shù)已經(jīng)直接影響到教什么和怎樣教的問題。而根據(jù)我國(guó)數(shù)學(xué)教師的調(diào)查，只有27. 2%的教師經(jīng)常使用計(jì)算機(jī)輔助教。
8.數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是什么
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（Fundamental Mathematics）即研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，回答“數(shù)學(xué)是什么？”，“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是什么？”，“數(shù)學(xué)是否和諧？”等等一些數(shù)學(xué)上的根本問題的學(xué)科。
從直覺主義、邏輯主義和形式主義的相同與不同，可以追溯到近代康德對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考。
康德認(rèn)為算術(shù)來自先驗(yàn)主體對(duì)時(shí)間純形式的直觀，幾何則是對(duì)空間純形式的直觀。
這實(shí)質(zhì)上是一種由主觀而客觀的思路。
康德的思想后來又在胡塞爾那里得到繼承和發(fā)展。
胡塞爾就是從考慮“數(shù)在哪里”的問題提出現(xiàn)象學(xué)還原方法的
（正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)）、一元二次方程、平面幾何、三角函數(shù)
因式分解，集合，邏輯
