數列方法(幫忙總結一下高中數列的)

1.幫忙總結一下高中數列的基礎知識

高考命題的主體內容之一，應切實進行全面、深入地復習，并在此基礎上，突出解決下述幾個問題：（1）等差、等比數列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數列的前 項和 ，則其通項為 若 滿足 則通項公式可寫成 .（2）數列計算是本章的中心內容，利用等差數列和等比數列的通項公式、前 項和公式及其性質熟練地進行計算，是高考命題重點考查的內容.（3）解答有關數列問題時，經常要運用各種數學思想.善于使用各種數學思想解答數列題，是我們復習應達到的目標. ①函數思想：等差等比數列的通項公式求和公式都可以看作是 的函數，所以等差等比數列的某些問題可以化為函數問題求解. ②分類討論思想：用等比數列求和公式應分為 及 ；已知 求 時，也要進行分類； ③整體思想：在解數列問題時，應注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整 體思想求解. （4）在解答有關的數列應用題時，要認真地進行分析，將實際問題抽象化，轉化為數學問題，再利用有關數列知識和方法來解決.解答此類應用題是數學能力的綜合運用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關的等比數列的第幾項不要弄錯. 一、基本概念： 1、數列的定義及表示方法： 2、數列的項與項數： 3、有窮數列與無窮數列： 4、遞增（減）、擺動、循環(huán)數列： 5、數列的通項公式an: 6、數列的前n項和公式Sn: 7、等差數列、公差d、等差數列的結構： 8、等比數列、公比q、等比數列的結構： 二、基本公式： 9、一般數列的通項an與前n項和Sn的關系：an= 10、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d （其中a1為首項、ak為已知的第k項） 當d≠0時，an是關于n的一次式；當d=0時，an是一個常數。

11、等差數列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn= 當d≠0時，Sn是關于n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0）,Sn=na1是關于n的正比例式。 12、等比數列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k （其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0） 13、等比數列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n a1 （是關于n的正比例式）； 當q≠1時，Sn= Sn= 三、有關等差、等比數列的結論 14、等差數列的任意連續(xù)m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數列。

15、等差數列中，若m+n=p+q，則 16、等比數列中，若m+n=p+q，則 17、等比數列的任意連續(xù)m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數列。 18、兩個等差數列與的和差的數列、仍為等差數列。

19、兩個等比數列與的積、商、倒數組成的數列 、、仍為等比數列。 20、等差數列的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。

21、等比數列的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。 22、三個數成等差的設法：a-d,a,a+d；四個數成等差的設法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三個數成等比的設法：a/q,a,aq； 四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3 （為什么？） 24、為等差數列，則 （c>0）是等比數列。

25、（bn>0）是等比數列，則 （c>0且c 1） 是等差數列。 26. 在等差數列 中： （1）若項數為 ，則 （2）若數為 則， ， 27. 在等比數列 中： （1） 若項數為 ，則 （2）若數為 則， 四、數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。

關鍵是找數列的通項結構。 28、分組法求數列的和：如an=2n+3n 29、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂項法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求數列的最大、最小項的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② （an>0） 如an= ③ an=f(n) 研究函數f(n)的。

2.數列的相關知識

高一年級上學期數學第一冊（上）第三章數列，接近尾聲，在講了這一章之后，現將該章的一些知識、概念、公式、方法總結如下，希望對同學們的復習備考有所幫助。

知識總結 高考對本單元的考查比較全面，等差數列，等比數列，每年都不會遺漏. 數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基本，所以在數學高考中占有重要的地位，近幾年本單元的試題平均占全卷總分的8%左右.大多是一道選擇或填空題，一道解答題.解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問題的能力，試題大多有較好的區(qū)分度.有關數列的試題經常是綜合題，經常把數列知識和指數函數、對數函數及不等式的知識綜合起來.探索性問題是高考的熱點，常在數列解答題中出現.應用問題有時也要用到本單元的知識.近幾年的數列解答題文、理分開，文科比理科的要求層次明顯降低，理科試題常要進行分類討論. 數列高考試題近幾年均是圍繞等差數列、等比數列的，這不同于80年代側重于遞歸數列性質的考查.因此數列的高考復習應著眼于教材的基本知識、基本方法，不要盲目擴展，要把握準《考試說明》的具體要求. 【基本概念】 1.數列及通項公式：按一定次序排列的一列數叫做數列，數列中的每一個數都叫這個數列的項，各項依次叫做這個數列的第1項（或首項），第2項，……第n項，…… 數列的一般形式可以寫成a1,a2,a3，…，an，…… 其中an是數列的第n項，有時我們把上面的數列簡記作{an}，如果數列{an}的第n項an與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式，如數列1，，，，……，的通項公式為an=. 2.遞推公式：如果已知數列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫作這個數列的遞推公式，遞推公式也是給出數列的一種方法，如在數列{an}中，a1=1，以后各項中公式an=1+給出，也可求這個數列中的任意一項. 3.等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示. 4.等差中項：如果a,A,b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項. 容易看出，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮等差數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項. 5.等比數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫等比數列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）. 6.等比中項：與等差中項的概念類似，如果在a與b中間插入一個數G，使a,G,b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項. 如果G是a與b的等比中項，那么=，即 G2=ab 因此，G=±. 反過來，如果a,b同號，G等于或-，即G2=ab，那么G是a、b的等比中項. 【基本公式】 等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d(d為公差).等差數列的前n項和公式：Sn==na1+d，當d≠0時，an是n的一次函數，Sn是n的二次函數（無常數項） 等比數列的通項公式：an=a1qn-1(q為公比，q≠0) 等比數列的前n項和公式：Sn= 注：對公比為字母q的等比數列求和時，要對q進行討論能否等于1. an= 【基本思想與方法】 1、判斷一個數列是等差數列的方法：定義法、中項法、通項公式法、前n項和公式法； 2、判斷一個數列是等比數列的方法：定義法、中項法、通項公式法； 3、數列求和的方法： 1、直接利用公式求和； 2、倒序相加法； 3、錯位相減法； 4、分解轉化（拆項）法； 5、裂項相消法； 6、并項法。 4、函數思想：將數列上升為特殊的函數來認識； 5、數形結合思想方法：函數的圖象能直接反映數列的本質； 6、方程（組）思想：等差、等比數列中在求時，知三求二，所用的就是方程思想。

7、觀察分析法：求通項公式時常用； 分類討論法：求等比數列的前n項和公式時要考慮公比是否為1，公比是字母時要進行討論。

3.怎樣學習數列

數列是高中數學十分重要的內容，數列和其它知識（如函數、不等式、解析幾何）的聯系非常密切。

就數列本身而言，無論從解題方法還是題型的規(guī)律，應當說都是有所遵循的，下面我們做一些簡單的總結。 一、基本知識 1.定義： （1） .數列：按一定次序排序的一列數 （2） 等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列叫做等差數列 （3） 等比數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列叫做等比數列 2. 通項公式與前n項和公式 （1） 為等差數列： （ 2） 為等比數列： （q 3. 常用性質 1. 為等差數列，則有 （1） 從第二項起，每項是前一項與后一項的等差中項， （n>1） (2) (3) 若m+n = p+q ， 則： ，特殊的：若m+n=2r ，則有： （4） 若 則有： （5） 若 則有： （6） 為等差數列 為常數） （7） ┅┅仍成等差數列 （8） 為等差數列，則 為等差數列（p,q為常數） （9）若項數為偶數2n， ， 若項數為偶數2n-1, , (10) 2. 為等比數列，則有 （1） 只有同號的兩數才存在等比中項 （2） (3) 若m+n = p+q ， 則： ，特殊的：若m+n=2r ，則有： （4） 為等比數列，則 ， ，{ }為等比數列（ ） （5） 等比數列中連續(xù)n項之積構成的新數列仍是等比數列，當 時，連續(xù)項之和仍為等比數列 （6） 二、基本方法 1.基本量法：這是數列解題中最常用也是最有效的方法，所謂“基本量法”，就是把條件中的所有量都化成 （等差數列）或 的形式，最終轉化為解方程組的問題。

2.常用方法：這里是指特定題型的特定方法，如：裂項法、錯項相減法、倒序相加法等，這些方法只有知道它們適用的題型就比較容易掌握，如有困難，可能難在它們的變形上，但變形訓練是一個系統(tǒng)過程，這里我們無法具體說明，好在本站的“本站推薦”欄目中的“試學內容2”恰好是數列求和問題，你可以參考。 三、常見題型 1. 求通項 如：“ ，求通項公式 這是遞推數列問題，可以計算出 ，猜出 ，然后再證明，也可以轉化為 ，利用{ }是公比為3的等比數列，先求出 ，然后再求 . 2. 求和 如：“ 其前n項和是________” 先把每一項的和計算出來，概率自然就找到了。

3. 求最值 如：“ 為等差數列， ，并求n為何值時， 最大 這類問題的解法比較多，但下面的方法最容易操作也最具有普遍性： 設 最大，則 ，求出相應的 問題也就解決了。 4. 關系 如：“設數列 的前n項和為 ，求證： 為等比數列 公式 是解題的工具。

5.與其它綜合 （1）：與函數綜合（如三角函數，指對數函數等） 如：“已知函數 ，設 數列的知識要求倒不高，關鍵是通過函數知識，用相關方法最終轉化為數列問題。 （2）：與方程綜合 如：“已知關于x的二次方程： 的兩根 滿足， ，則 是否為等比數列 （3）：與極限綜合 如：“設等比數列 的公比為 ，且 ，則 的值？” （4）：與二項式定理綜合 如：“已知等比數列 ，求和 （5）：與實際問題綜合 如：“某縣位于沙漠邊緣地帶，人與自然進行頑強的斗爭，到1998年底全縣的綠化率已達到 %，從1998年開始，每年將出現這樣的局面：原有沙漠面積16%被栽上樹，改造成綠洲，而同時原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變?yōu)樯衬僭O全縣面積為1,1998年底綠洲面積為 ，經過一年綠洲面積為 ，經過n年綠洲面積為 ，求證 ②問：經過多少年的努力，才能使全縣綠洲的面積超過60%（年取整數）？” 以上題目我們不可能一一進行詳細的說明，相信對每一個具體問題你知道如何解決，重要的是通過總結使自己頭腦中對數列的知識、方法有一個清晰的輪廓，心中有數，這樣就不至于無所適從。

另外，方法和規(guī)律都是死的，要想真正融會貫通，必須提高對數學的認識層次，至少對數學方法的應用、數學問題的實質能夠在短時間內作出迅速的反應，哪怕反應不那么正確，要達到這一點，只靠總結就不管用了，還要用心去體會。

4.如何學好高一數學中的數列知識

重點掌握等差數列和等比數列的求法和其性質，學會如何求通項公式an以及前n項和Sn，掌握常見的求通項公式的方法（定義法、構造法、猜想和數學歸納法等），熟練掌握Sn的求法（主要有幾種方法：定義法（等差數列和等比數列）、疊加法、錯位相減法（一個等差數列乘以一個等比數列）、分組求和法（一般是一個等比數列加上一個等差數列）、裂項相消法（如1/(1*2)+1/(2*3)+……+1/n(n+)=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1) 其實就是運用了公式：

1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 這就是裂項）、套用公式法（如已知an=n^2 求sn ，便可運用公式：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1) 這種只能靠記住一下常用公式）除此之外，還有其他的一些方法，靠你在實戰(zhàn)中去不斷總結吧！ ）最后強調一句，做多點練習必不可少的！

祝你學習順利！

5.高中數列知識點詳解

第一：掌握兩個重要的數列：等差數列和和等比數列，重點掌握它們的性質、通項公式的求法以及n項和的求法（公式）。這兩個數列是?？嫉念}型。必須要熟練掌握！

第二：學會常見的數列通項公式an的求法（主要有：定義法、疊加法、曡乘法、構造數列法、猜想和數學歸納法）和n項和Sn的求法（公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和法等），同時要多積累和總結這方面的題型。

第三：要想拿高分，還要積累一些常見的放縮公式，以便用于證明一些有關數列不等式

第一和第二是重點也是基礎，一定要掌握！至于第三嘛，靠慢慢積累才行！

6.數列的10種通項公式

數列通項公式的幾種求法 數列通項公式直接表述了數列的本質，是給出數列的一種重要方法。

數列通項公式具備兩大功能，第一，可以通過數列通項公式求出數列中任意一項；第二，可以通過數列通項公式判斷一個數是否為數列的項以及是第幾項等問題；因此，求數列通項公式是高中數學中最為常見的題型之一，它既考察等價轉換與化歸的數學思想，又能反映學生對數列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生數學素質的要素之一，因而經常滲透在高考和數學競賽中。本文分別介紹幾種常見的數列通項的求法，以期能給讀者一些啟示。

一、常規(guī)數列的通項 例1：求下列數列的通項公式 （1）2(22—1),3(32—1),4(42—1),5(52—1)，… （2）-1*2(1),2*3(1),-3*4(1),4*5(1)，… （3）3(2),1,7(10),9(17),11(26)，… 解：（1）an=n(n2—1) (2)an= n(n+1)((-1)n) (3) an=2n+1(n2+1) 評注：認真觀察所給數據的結構特征，找出an與n的對應關系，正確寫出對應的表達式。二、等差、等比數列的通項 直接利用通項公式an=a1+(n-1)d和an=a1qn-1寫通項，但先要根據條件尋求首項、公差和公比。

三、擺動數列的通項 例2：寫出數列1,-1,1,-1，…的一個通項公式。解：an=(-1)n-1 變式1：求數列0,2,0,2,0,2，…的一個通項公式。

分析與解答：若每一項均減去1，數列相應變?yōu)?1,1,-1,1，… 故數列的通項公式為an=1+(-1)n 變式2：求數列3,0,3,0,3,0，…的一個通項公式。分析與解答：若每一項均乘以3(2)，數列相應變?yōu)?,0,2,0，… 故數列的通項公式為an=2(3)[1+(-1)n-1 ] 變式3：求數列5,1,5,1,5,1，…的一個通項公式。

分析與解答1：若每一項均減去1，數列相應變?yōu)?,0,4,0，… 故數列的通項公式為an=1++2*3(2)[1+(-1)n-1 ]=1+3(4)[1+(-1)n-1 ] 分析與解答2：若每一項均減去3，數列相應變?yōu)?,-2,2,-2，… 故數列的通項公式為an=3+2(-1)n-1 四、循環(huán)數列的通項 例3：寫出數列0.1,0.01,0.001,0.0001，…的一個通項公式。 解：an= 10n(1) 變式1：求數列0.5,0.05,0.005，…的一個通項公式。

解：an= 10n(5) 變式2：求數列0.9,0.99,0.999，…的一個通項公式。 分析與解答：此數列每一項分別與數列0.1,0.01,0.001,0.0001，…的每一項對應相加得到的項全部都是1，于是an=1- 10n(1) 變式3：求數列0.7,0.77,0.777,0.7777，…的一個通項公式。

解：an= 9(7)(1- 10n(1)） 例4：寫出數列1,10,100,1000，…的一個通項公式。解：an=10n-1 變式1：求數列9,99,999，…的一個通項公式。

分析與解答：此數列每一項都加上1就得到數列10,100,1000，… 故an=10n-1。變式2：寫出數列4,44,444,4444…的一個通項公式。

解：an= 9(4)(10n-1) 評注：平日教與學的過程中務必要對基本的數列通項公式進行過關，這就需要提高課堂教與學的效率，多加總結、反思，注意聯想與對比分析，做到觸類旁通，也就無需再害怕復雜數列的通項公式了。五、通過等差、等比數列求和來求通項 例5：求下列數列的通項公式 （1）0.7,0.77,0.777，… （2）3,33,333,3333，… （3）12,1212,121212，… （4）1,1+2,1+2+3，… 解：（1）an==7*=7*(0.1+0.01+0.001+…+)=7*(10(1)+102(1)+103(1)+…+10n(1))==9(7)(1-10n(1)) (2)an==3*=3*(1+10+100+…+10n)=3*1-10(1-10n)=3(1)(10n-1) (3)an==12*(1+100+10000+…+100n-1)=12*1-100(1-100n)=33(4)(102n-1) (4)an=1+2+3+…n=2(n(n+1)） 評注：關鍵是根據數據的變化規(guī)律搞清楚第n項的數據特點。

六、用累加法求an=an-1+f(n)型通項 例6:(1)數列{an}滿足a1=1且an=an-1+3n-2(n≥2)，求an。(2)數列{an}滿足a1=1且an=an-1+2n(1)(n≥2)，求an。

解：（1）由an=an-1+3n-2知an-an-1=3n-2，記f(n)=3n-2= an-an-1 則an= (an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…（a2-a1）+a1 =f(n)+ f(n-1)+ f(n-2)+…f(2)+ a1 =(3n-2)+[3(n-1)-2]+ [3(n-2)-2]+ …+（3*2-2）+1 =3[n+(n-1)+(n-2)+…+2]-2(n-1)+1 =3*2((n+2)(n-1))-2n+3=2(3n2-n) (2)由an=an-1+2n(1)知an-an-1=2n(1)，記f(n)=2n(1)= an-an-1 則an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…（a2-a1）+a1 =f(n)+ f(n-1)+ f(n-2)+…f(2)+ a1 =2n(1)+2n-1(1)+2n-2(1)+…+22(1)+1=2(1)-2n(1) 評注：當f(n)=d(d為常數)時，數列{an}就是等差數列，教材對等差數列通項公式的推導其實就是用累加法求出來的。七、用累積法求an= f(n)an-1型通項 例7:(1)已知數列{an}滿足a1=1且an=n(2(n-1))an—1(n≥2)，求an (2)數列{an}滿足a1=2(1)且an=2n(1)an—1，求an 解：（1）由條件 an—1(an)=n(2(n-1)），記f(n)=n(2(n-1)) an= an—1(an)· an—2(an-1)·… a1(a2)·a1=f(n)f(n-1)f(n-2)…f(2)f(2)a1=n(2(n-1)）·n-1(2(n-2)）·n-2(2(n-3)）·…3(2*2)·2(2*1)·1=n(2n-1) (2)an= an—1(an)· an—2(an-1)·… a1(a2)·a1=2n(1)·2n-1(1)…22(1)·2(1)=21+2+…+n(1)=2- 2(n(n+1)） 評注：如果f(n)=q(q為常數)，則{an}為等比數列，an= f(n)an—1型數列是等比數列的一種推廣，教材中對等比數列通項公式地推導其實正是用累積法推導出來的。

八、用待定系數法求an=Aan-1+B型數列通項 例8：數列{an}滿足a1=1且an+1+2an=1，求其通項公式。解：由已知，an+1+2an=1，即an=-2 an—1+1 令an+x=-2(an-1+x)，則an=-2 an-1-3x，于是-3x=1，故x=-3(1) ∴ an-3(1)=-2(an-1-3(。