實(shí)變函數(shù)(學(xué)好實(shí)變函數(shù)前需要掌握哪些)

1.學(xué)好實(shí)變函數(shù)前需要掌握哪些基礎(chǔ)知識(shí)

當(dāng)然就是之前的專業(yè)課。

最重要的就是數(shù)學(xué)分析，尤其是黎曼積分以及分析學(xué)的思路。

實(shí)變函數(shù)就是黎曼積分的拓展，介紹一種新的積分——勒貝格積分，將可積函數(shù)類的范圍擴(kuò)大了。

值得注意的是勒貝格積分當(dāng)中，牛頓萊布尼茲公式不一定成立（僅有一個(gè)小于等于號(hào)），除非是絕對(duì)連續(xù)或者有界變差等某些情形。

在引入勒貝格積分的過程中，測(cè)度論是不可少的，有很多引進(jìn)測(cè)度的方法。要掌握這些基本上邏輯沒有問題就行了，并不需要什么準(zhǔn)備知識(shí)，通常的實(shí)變書都應(yīng)該有一些集合論的知識(shí)。

高等代數(shù)、解析幾何、微分方程、復(fù)變都完全用不到的，基本就是數(shù)學(xué)分析。

2.實(shí)變函數(shù)的基礎(chǔ)理論是什么

《實(shí)變函數(shù)》是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科階段理論性較強(qiáng)的一門基礎(chǔ)課程。

該課程的主要研究對(duì)象是定義在實(shí)數(shù)集上的實(shí)函數(shù)，集合論方法與極限方法是其主要的研究方法，因而該課程又稱“實(shí)分析”。該課程的核心內(nèi)容是Lebesgue測(cè)度與Lebesgue積分，Lebesgue測(cè)度與Lebesgue積分理論的產(chǎn)生來自于對(duì)Riemann積分的改良。

筆者通過多年實(shí)變函數(shù)課程的教學(xué)與教改實(shí)踐，積累了點(diǎn)滴經(jīng)驗(yàn)，形成了自己一些膚淺見解。本書就是筆者根據(jù)自己學(xué)習(xí)與教學(xué)的體會(huì)，對(duì)實(shí)變函數(shù)課程的核心內(nèi)容進(jìn)行整理而形成的。

本書以塊狀格式呈現(xiàn)材料的寫作方式與以往的實(shí)及實(shí)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書的寫作方式有較大的不同。筆者認(rèn)為，這種寫作方式，一方面有利于突現(xiàn)實(shí)變函數(shù)課程的學(xué)科結(jié)構(gòu)，另一方面可留給該書讀者更大的思考與創(chuàng)意空間。

考慮到初學(xué)實(shí)變函數(shù)者做實(shí)變函數(shù)習(xí)題普遍感到難以入門，本書后面附有一部分實(shí)變函數(shù)常見習(xí)題的解答參考或提示。 目錄第1章 集合與點(diǎn)集 1.1 集合及其運(yùn)算 1.1.1 問題提出 1.1.2 概念入門 1.1.3 主要事實(shí) 1.1.4 例題選講 1.1.5 基礎(chǔ)題訓(xùn)練 1.1.6 提高性習(xí)題 1.2 映射與基數(shù) 1.2.1 問題提出 1.2.2 概念入門 1.2.3 主要事實(shí) 1.2.4 例題選講 1.2.5 基礎(chǔ)題訓(xùn)練 1.2.6 提高性習(xí)題 1.3 可數(shù)集與連續(xù)基數(shù)集 1.3.1 問題提出 1.3.2 概念入門 1.3.3 主要事實(shí) 1.3.4 例題選講 1.3.5 基礎(chǔ)題訓(xùn)練 1.3.6 提高性習(xí)題 1.4 直線上的點(diǎn)集 1.4.1 問題提出 1.4.2 概念入門 1.4.3 主要事實(shí) 1.4.4 例題選講 1.4.5 基礎(chǔ)題訓(xùn)練 1.4.6 提高性習(xí)題 1.5 關(guān)于集合論的幾點(diǎn)注記 1.5.1 集合論創(chuàng)始人Canator簡介 1.5.2 實(shí)無窮觀與潛無窮觀 1.5.3 連續(xù)統(tǒng)假設(shè) 1.5.4 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)與Z-F集合論公理系統(tǒng) 1.5.5 集合思想對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo) 1.5.6 一一映射思想對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)第2章 測(cè)度論 2.1 外測(cè)度 2.2 可測(cè)集與測(cè)度 2.3 可測(cè)集類與可測(cè)集的結(jié)構(gòu) 2.4 關(guān)于測(cè)度論的幾點(diǎn)注記第3章 可測(cè)函數(shù) 3.1 可測(cè)函數(shù)概念及性質(zhì) 3.2 可測(cè)函數(shù)列的各種收斂性 3.3 關(guān)于可測(cè)函數(shù)的幾點(diǎn)注記第4章 Lebesgue積分 4.1 非負(fù)簡單函數(shù)與非負(fù)可測(cè)函數(shù)的（L）積分 4.2 一般可測(cè)函數(shù)的（L）積分 4.3 (L)積分與（R）積分 4.4 Fubini定理 4.5 關(guān)于（L）積分的幾點(diǎn)注記第5章 微分理論初步 5.1 單調(diào)函數(shù)與有界變差函數(shù)的微分性質(zhì) 5.2 不定積分與絕對(duì)連續(xù)函數(shù) 5.3 關(guān)于微分理論的兩點(diǎn)注記附錄 基礎(chǔ)題訓(xùn)練、提高性習(xí)題部分參考解答或提示參考文獻(xiàn)。

3.實(shí)變函數(shù)

實(shí)變函數(shù)論的產(chǎn)生 微積分產(chǎn)生于十七世紀(jì)，到了十八世紀(jì)末十九世紀(jì)初，微積分學(xué)已經(jīng)基本上成熟了。

數(shù)學(xué)家廣泛地研究并建立起它的許多分支，是它很快就形成了數(shù)學(xué)中的一大部門，也就是數(shù)學(xué)分析。 也正是在那個(gè)時(shí)候，數(shù)學(xué)家逐漸發(fā)現(xiàn)分析基礎(chǔ)本身還存在著學(xué)多問題。

比如，什么是函數(shù)這個(gè)看上去簡單而且十分重要的問題，數(shù)學(xué)界并沒有形成一致的見解。以至長期爭論者問題的這樣和那樣的解答，這樣和那樣的數(shù)學(xué)結(jié)果，弄不清究竟誰是正確的。

又如，對(duì)于什么是連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)是什么，數(shù)學(xué)界也沒有足夠清晰的理解。 十九世紀(jì)初，曾經(jīng)有人試圖證明任何連續(xù)函數(shù)除個(gè)別點(diǎn)外總是可微的。

后來，德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯提出了一個(gè)由級(jí)數(shù)定義的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，但是維爾斯特拉斯證明了這個(gè)函數(shù)在任何點(diǎn)上都沒有導(dǎo)數(shù)。這個(gè)證明使許多數(shù)學(xué)家大為吃驚。

由于發(fā)現(xiàn)了某些函數(shù)的奇特性質(zhì)，數(shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)的研究更加深入了。人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了有些函數(shù)是連續(xù)的但處處不可微，有的函數(shù)的有限導(dǎo)數(shù)并不黎曼可積；還發(fā)現(xiàn)了連續(xù)但是不分段單調(diào)的函數(shù)等等。

這些都促使數(shù)學(xué)家考慮，我們要處理的函數(shù)，僅僅依靠直觀觀察和猜測(cè)是不行的，必須深入研究各種函數(shù)的性質(zhì)。比如，連續(xù)函數(shù)必定可積，但是具有什么性質(zhì)的不連續(xù)函數(shù)也可積呢？如果改變積分的定義，可積分條件又是什么樣的？連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)，那么可導(dǎo)的充分必要條件由是什么樣的？…… 上面這些函數(shù)性質(zhì)問題的研究，逐漸產(chǎn)生了新的理論，并形成了一門新的學(xué)科，這就是實(shí)變函數(shù)。

實(shí)變函數(shù)的內(nèi)容 以實(shí)數(shù)作為自變量的函數(shù)就做實(shí)變函數(shù)，以實(shí)變函數(shù)作為研究對(duì)象的數(shù)學(xué)分支就叫做實(shí)變函數(shù)論。它是微積分學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它的基礎(chǔ)是點(diǎn)集論。

什么是點(diǎn)集論呢？點(diǎn)集論是專門研究點(diǎn)所成的集合的性質(zhì)的理論。也可以說實(shí)變函數(shù)論是在點(diǎn)集論的基礎(chǔ)上研究分析數(shù)學(xué)中的一些最基本的概念和性質(zhì)的。

比如，點(diǎn)集函數(shù)、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等。實(shí)變函數(shù)論還要研究實(shí)變函數(shù)的分類問題、結(jié)構(gòu)問題。

實(shí)變函數(shù)論的內(nèi)容包括實(shí)值函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)、微分理論、積分理論和測(cè)度論等。這里我們只對(duì)它的一些重要的基本概念作簡要的介紹。

實(shí)變函數(shù)論的積分理論研究各種積分的推廣方法和它們的運(yùn)算規(guī)則。 由于積分歸根到底是數(shù)的運(yùn)算，所以在進(jìn)行積分的時(shí)候，必須給各種點(diǎn)集以一個(gè)數(shù)量的概念，這個(gè)概念叫做測(cè)度。

什么實(shí)測(cè)度呢？簡單地說，一條線段的長度就是它的測(cè)度。測(cè)度的概念對(duì)于實(shí)變函數(shù)論十分重要。

集合的測(cè)度這個(gè)概念實(shí)由法國數(shù)學(xué)家勒貝格提出來的。 為了推廣積分概念，1893年，約當(dāng)在他所寫的《分析教程》中，提出了“約當(dāng)容度”的概念并用來討論積分。

1898年，法國數(shù)學(xué)家波萊爾把容度的概念作了改進(jìn)，并把它叫做測(cè)度。波萊爾的學(xué)生勒貝格后來發(fā)表《積分、長度、面積》的論文，提出了“勒貝格測(cè)度”、“勒貝格積分”的概念。

勒貝格還在他的論文《積分和圓函數(shù)的研究》中，證明了有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)零測(cè)度集，這就完全解決了黎曼可積性的問題。 勒貝格積分可以推廣到無界函數(shù)的情形，這個(gè)時(shí)候所得積分是絕對(duì)收斂的，后來由推廣到積分可以不是絕對(duì)收斂的。

從這些就可以看出，勒貝格積分比起由柯西給出后來又由黎曼發(fā)揚(yáng)的老積分定義廣大多了。也可以看出，實(shí)變函數(shù)論所研究的是更為廣泛的函數(shù)類。

自從維爾斯特拉斯證明連續(xù)函數(shù)必定可以表示成一致收斂的多項(xiàng)式級(jí)數(shù)，人們就認(rèn)清連續(xù)函數(shù)必定可以解析地表達(dá)出來，連續(xù)函數(shù)也必定可以用多項(xiàng)式來逼近。 這樣，在實(shí)變函數(shù)論的領(lǐng)域里又出現(xiàn)了逼近論的理論。

什么是逼近理論呢？舉例來說，如果能把 A類函數(shù)表示成 B類函數(shù)的極限，就說 A類函數(shù)能以 B類函數(shù)來逼近。如果已經(jīng)掌握了 B類函數(shù)的某些性質(zhì)，那么往往可以由此推出 A類函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)。

逼近論就是研究那一類函數(shù)可以用另一類函數(shù)來逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出現(xiàn)的各種情況。 和逼近理論密切相關(guān)的有正交級(jí)數(shù)理論，三角級(jí)數(shù)就是一種正交級(jí)數(shù)。

和逼近理論相關(guān)的還有一種理論，就是從某一類已知函數(shù)出發(fā)構(gòu)造出新的函數(shù)類型的理論，這種理論叫做函數(shù)構(gòu)造論。 總之，實(shí)變函數(shù)論和古典數(shù)學(xué)分析不同，它是一種比較高深精細(xì)的理論，是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它的應(yīng)用廣泛，它在數(shù)學(xué)各個(gè)分支的應(yīng)用是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征。

實(shí)變函數(shù)論不僅應(yīng)用廣泛，是某些數(shù)學(xué)分支的基本工具，而且它的觀念和方法以及它在各個(gè)數(shù)學(xué)分支的應(yīng)用，對(duì)形成近代數(shù)學(xué)的一般拓?fù)鋵W(xué)和泛函分析兩個(gè)重要分支有著極為重要的影響。 。

4.什么是實(shí)變函數(shù)

以實(shí)數(shù)作為自變量的函數(shù)就做實(shí)變函數(shù)，以實(shí)變函數(shù)作為研究對(duì)象的數(shù)學(xué)分支就叫做實(shí)變函數(shù)論。

它是微積分學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它的基礎(chǔ)是點(diǎn)集論。什么是點(diǎn)集論呢？點(diǎn)集論是專門研究點(diǎn)所成的集合的性質(zhì)的理論。

也可以說實(shí)變函數(shù)論是在點(diǎn)集論的基礎(chǔ)上研究分析數(shù)學(xué)中的一些最基本的概念和性質(zhì)的。 比如，點(diǎn)集函數(shù)、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等。

實(shí)變函數(shù)論還要研究實(shí)變函數(shù)的分類問題、結(jié)構(gòu)問題。 實(shí)變函數(shù)論的內(nèi)容包括實(shí)值函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)、微分理論、積分理論和測(cè)度論等。

這里我們只對(duì)它的一些重要的基本概念作簡要的介紹。 實(shí)變函數(shù)論的積分理論研究各種積分的推廣方法和它們的運(yùn)算規(guī)則。

由于積分歸根到底是數(shù)的運(yùn)算，所以在進(jìn)行積分的時(shí)候，必須給各種點(diǎn)集以一個(gè)數(shù)量的概念，這個(gè)概念叫做測(cè)度。 什么實(shí)測(cè)度呢？簡單地說，一條線段的長度就是它的測(cè)度。

測(cè)度的概念對(duì)于實(shí)變函數(shù)論十分重要。集合的測(cè)度這個(gè)概念實(shí)由法國數(shù)學(xué)家勒貝格提出來的。

為了推廣積分概念，1893年，約當(dāng)在他所寫的《分析教程》中，提出了“約當(dāng)容度”的概念并用來討論積分。1898年，法國數(shù)學(xué)家波萊爾把容度的概念作了改進(jìn)，并把它叫做測(cè)度。

波萊爾的學(xué)生勒貝格后來發(fā)表《積分、長度、面積》的論文，提出了“勒貝格測(cè)度”、“勒貝格積分”的概念。 勒貝格還在他的論文《積分和圓函數(shù)的研究》中，證明了有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)零測(cè)度集，這就完全解決了黎曼可積性的問題。

勒貝格積分可以推廣到無界函數(shù)的情形，這個(gè)時(shí)候所得積分是絕對(duì)收斂的，后來由推廣到積分可以不是絕對(duì)收斂的。 從這些就可以看出，勒貝格積分比起由柯西給出后來又由黎曼發(fā)揚(yáng)的老積分定義廣大多了。

也可以看出，實(shí)變函數(shù)論所研究的是更為廣泛的函數(shù)類。 自從維爾斯特拉斯證明連續(xù)函數(shù)必定可以表示成一致收斂的多項(xiàng)式級(jí)數(shù)，人們就認(rèn)清連續(xù)函數(shù)必定可以解析地表達(dá)出來，連續(xù)函數(shù)也必定可以用多項(xiàng)式來逼近。

這樣，在實(shí)變函數(shù)論的領(lǐng)域里又出現(xiàn)了逼近論的理論。 什么是逼近理論呢？舉例來說，如果能把 A類函數(shù)表示成 B類函數(shù)的極限，就說 A類函數(shù)能以 B類函數(shù)來逼近。

如果已經(jīng)掌握了 B類函數(shù)的某些性質(zhì)，那么往往可以由此推出 A類函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)。 逼近論就是研究那一類函數(shù)可以用另一類函數(shù)來逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出現(xiàn)的各種情況。

和逼近理論密切相關(guān)的有正交級(jí)數(shù)理論，三角級(jí)數(shù)就是一種正交級(jí)數(shù)。和逼近理論相關(guān)的還有一種理論，就是從某一類已知函數(shù)出發(fā)構(gòu)造出新的函數(shù)類型的理論，這種理論叫做函數(shù)構(gòu)造論。

總之，實(shí)變函數(shù)論和古典數(shù)學(xué)分析不同，它是一種比較高深精細(xì)的理論，是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它的應(yīng)用廣泛，它在數(shù)學(xué)各個(gè)分支的應(yīng)用是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征。 實(shí)變函數(shù)論不僅應(yīng)用廣泛，是某些數(shù)學(xué)分支的基本工具，而且它的觀念和方法以及它在各個(gè)數(shù)學(xué)分支的應(yīng)用，對(duì)形成近代數(shù)學(xué)的一般拓?fù)鋵W(xué)和泛涵分析兩個(gè)重要分支有著極為重要的影響。

例子 實(shí)變：y=x+1,x屬于R 。