圓錐曲線與方程(求高中數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)總結(jié))
1.求高中數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)總結(jié)
圓錐曲線包括橢圓，雙曲線，拋物線。
其統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。當(dāng)0<e1時為雙曲線。
一、圓錐曲線的方程和性質(zhì)： 1）橢圓 文字語言定義：平面內(nèi)一個動點(diǎn)到一個定點(diǎn)與一條定直線的距離之比是一個小于1的正常數(shù)e。定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線是橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。
標(biāo)準(zhǔn)方程： 1.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：（x^2/a^2）+(y^2/b^2)=1 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 2.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：（x^2/b^2）+(y^2/a^2)=1 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 參數(shù)方程： X=acosθ Y=bsinθ （θ為參數(shù) ，設(shè)橫坐標(biāo)為acosθ，是由于圓錐曲線的考慮，橢圓伸縮變換后可為圓 此時c=0，圓的acosθ=r） 2）雙曲線 文字語言定義：平面內(nèi)一個動點(diǎn)到一個定點(diǎn)與一條定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)e。定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。
標(biāo)準(zhǔn)方程： 1.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：（x^2/a^2）-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：（y^2/a^2）-(x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 參數(shù)方程： x=asecθ y=btanθ （θ為參數(shù) ） 3）拋物線 標(biāo)準(zhǔn)方程： 1.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上開口向右的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：y^2=2px 其中 p>0 2.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上開口向左的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：y^2=-2px 其中 p>0 3.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上開口向上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：x^2=2py 其中 p>0 4.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上開口向下的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：x^2=-2py 其中 p>0 參數(shù)方程 x=2pt^2 y=2pt (t為參數(shù)) t=1/tanθ（tanθ為曲線上點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)確定直線的斜率）特別地，t可等于0 直角坐標(biāo) y=ax^2+bx+c （開口方向?yàn)閥軸， a0 ） x=ay^2+by+c （開口方向?yàn)閤軸， a0 ） 圓錐曲線（二次非圓曲線）的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程為 ρ=ep/(1-e*cosθ) 其中e表示離心率，p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。 二、焦半徑 圓錐曲線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑。
圓錐曲線左右焦點(diǎn)為F1、F2，其上任意一點(diǎn)為P(x,y)，則焦半徑為： 橢圓 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex 雙曲線 P在左支，|PF1|=-a-ex |PF2|=a-ex P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=-a+ex P在下支，|PF1|= -a-ey |PF2|=a-ey P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=-a+ey 拋物線 |PF|=x+p/2 三、圓錐曲線的切線方程 圓錐曲線上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程 以x0x代替x^2，以y0y代替y^2；以（x0+x）/2代替x，以（y0+y）/2代替y 即橢圓：x0x/a^2+y0y/b^2=1； 雙曲線：x0x/a^2-y0y/b^2=1； 拋物線：y0y=p(x0+x) 四、焦準(zhǔn)距 圓錐曲線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p叫圓錐曲線的焦準(zhǔn)距，或焦參數(shù)。 橢圓的焦準(zhǔn)距：p=(b^2)/c 雙曲線的焦準(zhǔn)距：p=(b^2)/c 拋物線的準(zhǔn)焦距：p 五、通徑 圓錐曲線中，過焦點(diǎn)并垂直于軸的弦成為通徑。
橢圓的通徑：（2b^2）/a 雙曲線的通徑：（2b^2）/a 拋物線的通徑：2p 六、圓錐曲線的性質(zhì)對比 見下圖： 七、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題 已知圓錐曲線內(nèi)一點(diǎn)為圓錐曲線的一弦中點(diǎn)，求該弦的方程 ⒈聯(lián)立方程法。 用點(diǎn)斜式設(shè)出該弦的方程（斜率不存在的情況需要另外考慮），與圓錐曲線方程聯(lián)立求得關(guān)于x的一元二次方程和關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到兩根之和的表達(dá)式，在由中點(diǎn)坐標(biāo)公式的兩根之和的具體數(shù)值，求出該弦的方程。
2.點(diǎn)差法，或稱代點(diǎn)相減法。 設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)（x1,y1）和（x2,y2），代入圓錐曲線的方程，將得到的兩個方程相減，運(yùn)用平方差公式得[（x1+x2）·（x1-x2）]/(a^2)+[(y1+y2)·（y1-y2）/(b^2]=0 由斜率為（y1-y2）/(x1-x2)可以得到斜率的取值。
（使用時注意判別式的問題）。
2.求圓錐曲線與方程需要用到的知識
直線方程：1\過點(diǎn)（a,b），斜率為k，則直線為y-b=k(x-a)2\斜率為k，與y軸交點(diǎn)為（0,b），則直線為y=kx+b3\過兩點(diǎn)（a,b）,(m,n)，則直線為（y-b）/(n-b)=(x-a)/(m-a)4\直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為（a,0）,(0,b)，則直線為x/a+y/b=1 5\以上四種方式都可以整理為Ax+By+c=0的形式，A\B不同時為零.圓的方程：1\圓心為（a,b），半徑為r，則圓為（x-a）^2+(y-b)^2=r^22\圓的一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0)。
3.求圓錐曲線與方程需要用到的知識
直線方程：
1\過點(diǎn)（a,b），斜率為k，則直線為y-b=k(x-a)
2\斜率為k，與y軸交點(diǎn)為（0,b），則直線為y=kx+b
3\過兩點(diǎn)（a,b）,(m,n)，則直線為（y-b）/(n-b)=(x-a)/(m-a)
4\直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為（a,0）,(0,b)，則直線為x/a+y/b=1
5\以上四種方式都可以整理為Ax+By+c=0的形式，A\B不同時為零.
圓的方程：
1\圓心為（a,b），半徑為r，則圓為（x-a）^2+(y-b)^2=r^2
2\圓的一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0)
4.圓錐曲線的知識點(diǎn)及解題方法
解題思路：把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和一元二次方程的根的判別式和題目要求來做，這就是必須的。
解圓錐曲線問題常用以下方法：
1、定義法
(1)橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1 r2=ed2。
(2)雙曲線有兩種定義。第一定義中，，當(dāng)r1>r2時，注意r2的最小值為c-a：第二定義中，r1=ed1,r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將 半徑與“點(diǎn)到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。
(3)拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。
2、韋達(dá)定理法
因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。
3、解析幾何的運(yùn)算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”，即設(shè)弦的兩個端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點(diǎn)與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè)而不求”法，具體有：
(1)與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，則有。
(2)與直線l相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)則有
(3)y2=2px(p>0)與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，則有2y0k=2p，即y0k=p.
