高中數(shù)學(xué)數(shù)列例題(高一數(shù)列 函數(shù)復(fù)習(xí)重點 常用技巧和一些經(jīng)典例題)
1.高一數(shù)列、函數(shù)復(fù)習(xí)重點、常用技巧和一些經(jīng)典例題
數(shù)列在整個高中數(shù)學(xué)中處于知識和方法的匯合點，在這個單元中顯性知識包括三個概念、兩種公式和一種關(guān)系（an和Sn的關(guān)系），隱性方面包括五種基本方法（觀察歸納、類比聯(lián)想、倒序相加、錯位相減、裂項求和）和五種重要的數(shù)學(xué)思想（函數(shù)思想、方程思想、分類討論的思想、轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合的思想）.縱觀教材，概念和公式是核心，思維是支柱，運算是主體，應(yīng)用是歸宿，等差、等比數(shù)列的概念和性質(zhì)及公式的應(yīng)用成為復(fù)習(xí)的重點. 數(shù)列這個單元的復(fù)習(xí)應(yīng)注意三個方面：①重視函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系及方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用；②重視等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)以及可化為等差、等比數(shù)列的簡單問題，同時應(yīng)重視等差、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運用；③設(shè)計一些新穎題目，尤其是探索性問題，挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神.由于數(shù)列綜合題涉及的問題背景材料新穎，解法靈活多樣，建議在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時，啟發(fā)學(xué)生多角度思考問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì). 高考大綱對數(shù)列要求 近幾年高考數(shù)學(xué)考試大綱沒有變化，特別是 04、05、06要求都是一樣的，對于《數(shù)列》一章的考試內(nèi)容及考試要求為：（1）理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項； （2）理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題； （3）理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題.”參考資料：?fr=qrl3。
2.求一些高一數(shù)列的經(jīng)典例題
數(shù)列·例題解析 【例1】 求出下列各數(shù)列的一個通項公式解 （1）所給出數(shù)列前5項的分子組成奇數(shù)列，其通項公式為2n-1，而前5項的分母所組成的數(shù)列的通項公式為2*2n，所以，已知數(shù)列的（2）從所給數(shù)列的前四項可知，每一項的分子組成偶數(shù)列，其通項公式為2n，而分母組成的數(shù)列3,15,35,63，…可以變形為1*3,3*5,5*7,7*9，…即每一項可以看成序號n的（2n-1）與2n+1的積，也即（2n-1）(2n+1)，因此，所給數(shù)列的通項公式為：（3）從所給數(shù)列的前5項可知，每一項的分子都是1，而分母所組成的數(shù)列3,8,15,24,35，…可變形為1*3,2*4,3*5,4*6,5*7，…，即每一項可以看成序號n與n+2的積，也即n(n+2).各項的符號，奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正.因此，所給數(shù)列的通項公式為：1,4,9,16,25，…是序號n的平方即n2，分母均為2.因此所【例2】 求出下列各數(shù)列的一個通項公式.（1）2,0,2,0,2，…（3）7,77,777,7777,77777，…（4）0.2,0.22,0.222,0.2222,0.22222，…解 （1）所給數(shù)列可改寫為1+1,-1+1,1+1,-1+1，…可以看作數(shù)列1,-1,1,-1，…的各項都加1，因此所給數(shù)的通項公式an=(-1)n+1+1.所給數(shù)列亦可看作2,0,2,0…周期性變化，因此所給數(shù)列的數(shù)列n，分子組成的數(shù)列為1,0,1,0,1,0，…可以看作是2,(4)所給數(shù)列0.2,0.22,0.222,0.2222,0.22222，…可以改寫說明1.用歸納法寫出數(shù)列的一個通項公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律.對于項的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的數(shù)列，可將其分成幾個部分分別考慮，然后將它們按運算規(guī)律結(jié)合起來.2.對于常見的一些數(shù)列的通項公式（如：自然數(shù)列，an=n；自然數(shù)的平方數(shù)列，an=n2；奇數(shù)數(shù)列，an=2n-1；偶數(shù)數(shù)列，an=2n；納出數(shù)列的通項公式.3.要掌握對數(shù)列各項的同加、同減、同乘以某一個不等于零的數(shù)的變形方法，將其轉(zhuǎn)化為常見的一些數(shù)列.幾項.【例4】 已知下面各數(shù)列{an}的前n項和Sn的公式，求數(shù)列的通項公式.（1）Sn=2n2-3n (2)Sn=n2+1(3)Sn=2n+3 (4)Sn=(-1)n+1·n解 （1）當(dāng)n=1時，a1=S1=-1；當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5，由于a1也適合此等式，因此an=4n-5.(2)當(dāng)n=1時，a1=S1=1+1=2；當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1，由于a1不適合于此等式，（3）當(dāng)n=1時，a1=S1=2+3=5；當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n+3-(2n-1+3)=2n-1，由于a1不適合于此等式，（4）當(dāng)n=1時，a1=S1=(-1)2·1=1；當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·（n-1）=(-1)n+1(2n-1)，由于a1也適可于此等式，因此an=(-1)n+1(2n-1),n∈N*.說明 已知Sn求an時，要先分n=1和n≥2兩種情況分別進行計算，然后驗證能否統(tǒng)一.（1）寫出數(shù)列的前5項；（2）求an.(2)由第（1）小題中前5項不難求出.【例6】 數(shù)列{an}中，a1=1，對所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an=n2.(1)求a3+a5；解 由已知：a1·a2·a3·…·an=n2得說明 （1）“知和求差”、“知積求商”是數(shù)列中常用的基本方法.（2）運用方程思想求n，若n∈N*，則n是此數(shù)列中的項，反之，則不是此數(shù)列中的項.【例7】 已知數(shù)an=(a2-1)(n3-2n)(a=≠±1)是遞增數(shù)列，試確定a的取值范圍.解法一 ∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，∴an+1>anan+1-an=(a2-1)[(n+1)3-2(n+1)]-(a2-1)(n3-2n)=(a2-1)[(n+1)3-2(n+1)-n3+2n]=(a2-1)(3n2+3n-1)∵（a2-1）(3n2+3n-1)>0又∵n∈N*，∴3n2+3n-1=3n(n+1)-1>0∴a2-1>0，解得a1.解法二 ∵{an}是遞增數(shù)列，∴a10∴a1說明 本題從函數(shù)的觀點出發(fā)，利用遞增數(shù)列這一已知條件，將求取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為解不等式的問題。
3.高中數(shù)學(xué)必修4里關(guān)于數(shù)列各種例題的做法
一、等差數(shù)列 如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。
等差數(shù)列的通項公式為：an=a1+(n-1)d (1)前n項和公式為：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 從（1）式可以看出，an是n的一次數(shù)函（d≠0）或常數(shù)函數(shù)（d=0）,(n,an)排在一條直線上，由（2）式知，Sn是n的二次函數(shù)（d≠0）或一次函數(shù)（d=0,a1≠0），且常數(shù)項為0。 在等差數(shù)列中，等差中項：一般設(shè)為Ar,Am+An=2Ar，所以Ar為Am,An的等差中項。
且任意兩項am,an的關(guān)系為：an=am+(n-m)d它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。 從等差數(shù)列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2，…，n} 若m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1Sk,S2k-Sk,S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數(shù)列，等等。
和=（首項+末項）*項數(shù)÷2 項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1 首項=2和÷項數(shù)-末項末項=2和÷項數(shù)-首項項數(shù)=（末項-首項）/公差+1例題：已知{an}是等差數(shù)列，a2=8,S10=185，從數(shù)列中依次取出偶數(shù)項組成一個新的數(shù)列{bn}，求數(shù)列{bn}的通項公式解：（Ⅰ）設(shè){an}首項為a1，公差為d，則 a1+d=8 10(2a1+9d)/2=185，解得 a1=5 d=3 ∴an=5+3(n-1)，即an=3n+2 （Ⅱ）設(shè)b1=a2,b2=a4,b3=a8， 則bn=a2^n = 3*2^n+2二 等比數(shù)列如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比數(shù)列的通項公式是：An=A1*q^(n-1)(2)前n項和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q) 且任意兩項am,an的關(guān)系為an=am·qn-m(3)從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2，…，n} (4)若m,n,p,q∈N*，則有：ap·aq=am·an，等比中項：aq·ap=2ar ar則為ap,aq等比中項。記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列；反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。
在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。 性質(zhì)： ①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am·an=ap*aq； ②在等比數(shù)列中，依次每 k項之和仍成等比數(shù)列. “G是a、b的等比中項”“G^2=ab(G≠0)”. 在等比數(shù)列中，首項A1與公比q都不為零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
例題：前n項和為s=3^n+a 當(dāng)a為多少時 an為等比數(shù)列解： 當(dāng)n>1時， Sn=3^n+a Sn-1=3^(n-1)+a 故an=Sn-Sn-1=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1) 所以an應(yīng)該是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，但這是n>1的情況，必須保證n=1也符合上面的通項公式. 所以a1=2*3^0=2……（1） 又S1=a1=3^1+a……（2） 根據(jù)（1）(2)式得 a=-1。
4.幫我發(fā)些有關(guān)高中數(shù)列的例題
例1.從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.
(1)設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an,bn的表達式；
(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？
命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識；考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。
知識依托：本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識點.
技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，（2）問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.
解：（1）第1年投入為800萬元，第2年投入為800*(1-)萬元，…第n年投入為800*(1-)n-1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為
an=800+800*(1-)+…+800*(1-)n-1=800*(1-)k-1
=4000*[1-()n]
第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400*(1+)，…，第n年旅游業(yè)收入400*(1+)n-1萬元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為
bn=400+400*(1+)+…+400*(1+)k-1=400*()k-1.
=1600*[()n-1]
(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bn-an>0，即：
1600*[()n-1]-4000*[1-()n]>0，令x=()n，代入上式得：5x2-7x+2>0.解此不等式，得x1（舍去）.即（）n
∴至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.
5.數(shù)學(xué)數(shù)列的基本題型
數(shù) 列 摘要：數(shù)列問題是一個很有趣的問題，生活中的很多事件，都和數(shù)列緊緊的聯(lián)系在一起，本課題重點研究了等差數(shù)列，等差數(shù)列的判定，等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的證明，以及數(shù)學(xué)證明中常用的方法數(shù)學(xué)歸納法等。
關(guān)鍵詞：等差 等差數(shù)列 相連項 前n項和 在數(shù)學(xué)發(fā)展的早期已有許多人研究過數(shù)列這一課題，特別是等差數(shù)列。例如早在公元前2700年以前埃及數(shù)學(xué)的《萊因特紙草書》中，就記載著相關(guān)的問題。
在巴比倫晚期的《泥板文書》中，也有按級遞減分物的等差數(shù)列問題。其中有 一個問題大意是： 10個兄弟分100兩銀子，長兄最多，依次減少相同數(shù)目 。
現(xiàn)知第八兄弟分得6兩，問相鄰兩兄弟相差多少？數(shù)列是從生活中抽像出來的，日常生活中遇到的許多實際問題，如貸款、利率、折舊、人口增長、放射物的衰變等都可以用等差數(shù)列和等比數(shù)列來刻畫，然而在數(shù)學(xué)這門學(xué)科中數(shù)列又是如何定義的呢？數(shù)列：按一定次序排列的一列數(shù)表示方法：1 列舉法 ：如數(shù)列 ， ， 2解析法 ：通項公式、遞推公式求數(shù)列通項的方法：觀察歸納法、待定系數(shù)法、公式法數(shù)列的分類：1 按項數(shù)分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列 2 按范圍分為有界數(shù)列和無界數(shù)列 3 按單調(diào)性分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列和常數(shù)列（擺動數(shù)列）我們在日常生活中經(jīng)常會碰見一些關(guān)于數(shù)列的問題 1.四年級同學(xué)小明覺得自己英語成績很差，目前他的單詞量只 yes,no,you,me,he 5個 他決定從今天起每天背記10個單詞，那么從今天開始，他的單詞量逐日增加，依次為：5,15,25,35，… （問：多少天后他的單詞量達到3000?） 2.小李是石河子大學(xué)化學(xué)系的一名學(xué)生，他的英語成績很棒，他在大二時就過了外語四級，她目前的單詞量多達4500 但后來迷上了網(wǎng)絡(luò)游戲，他打算從今天起不再背單詞了，結(jié)果不知不覺地每天忘掉30個單詞，那么從今天開始，她的單詞量逐日遞減，依次為：4500,4470,4440,4410，… （問：多少天后她那4500個單詞全部忘光？）從上面兩例中，我們分別得到兩個數(shù)列 ① 5,15,25,35，… 和 ② 4500,4470,4440,4410，… 大家仔細觀察一下，看看以上兩個數(shù)列有什么共同特征？？ ·共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)（即等差）；（誤：每相鄰兩項的差相等--應(yīng)指明作差的順序是后項減前項），我們給具有這種特征的數(shù)列一個名字--等差數(shù)列） 1. 等差數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列，從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)，我們把這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列 2. 等差數(shù)列的通項公式： 【或 】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關(guān)系而得 若一等差數(shù)列 的首項是 ，公差是d，則據(jù)其定義可得： 即： 即： 即： …… 由此歸納等差數(shù)列的通項公式可得： 等差中項：如過三個數(shù) 成等差數(shù)列那么中間一項 稱為 的等差中項 ∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項 和公差d，便可求得其通項 下面我們來具體研究等差數(shù)列的一些問題 一、等差數(shù)列的判定方法 1. 若數(shù)列 從第二項起每一項與前一項的差都為同一個常數(shù)d，即： - =d（常數(shù)） 則 是等差數(shù)列，其公差為d 2.若數(shù)列從第二項起，每一項的兩倍都等于前一項與后一項的和即： 2 = + 則是等差數(shù)列（ 是 與 的等差中項） 3. 若數(shù)列 的通項 是項數(shù)n的一次多項式或者是常數(shù)，即： = （p,q為常數(shù)）， 則 是等差數(shù)列，其首項是 ，公差是 4. 若數(shù)列 的前n項和 是項數(shù)n的二次項系數(shù)為零的二次多項式或一次多項式，即： （k,h為常數(shù)），則 是等差數(shù)列，其首項是 ，公差是 5. 若數(shù)列 是公差為d的等差數(shù)列，k是一個常數(shù)，則數(shù)列 是公差為kd的等差數(shù)列 6.若數(shù)列 是公差為d的等差數(shù)列，r是一個常數(shù)，則數(shù)列 也是公差為d的等差數(shù)列例1. 判斷下列數(shù)列 是否為等差數(shù)列？如果是寫出其公差（1） 的第n項為： （2） 的第n項為： （3） 的第n項和為： （4） 的第n項和為： 解：（1）因為 =5 =5 = 所以 是等差數(shù)列，其公差為 （2）因為 = 所以 是項數(shù)n的一次多項式，從而 是等差數(shù)列，其公差為4。(3)因為 = 所以 是項數(shù)n的二次多項式，二次多項式系數(shù)是3，常數(shù)項為零，因此 是等差數(shù)列，其公差d=6 (4) 所以 是項數(shù)n的二次多項式，常數(shù)項為1，因此 不是等差數(shù)列 二 、等差數(shù)列的基本公式及一些簡單求法基本公式： （1） = 或者 = = （2） (3) ，特別的 或者 ，特別的 （一） 簡單公式求法 利用等差數(shù)列的基本公式，解一些關(guān)于等差數(shù)列的題目，俗話說的好知三求二。
例1. 在等差數(shù)列 中，已知 ， ，求 ， ， 解法一：∵ ， ，則 ∴ 解法二：∵ ∴ 小結(jié)：第二通項公式 例2.將一個等差數(shù)列的通項公式輸入計算器數(shù)列 中，設(shè)數(shù)列的第s項和第t項分別為 和 ，計算 的值，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論 解：通過計算發(fā)現(xiàn) 的值恒等于公差證明：設(shè)等差數(shù)列{ }的首項為 ，末項為 ，公差為d， ⑴-⑵得 小結(jié)：①這就是第二通項公式的變形，②幾何特征，直線的斜率（2） 相連項求法如過三個數(shù) 成等差數(shù)列那么中間一項 稱為 的等差中項。若三個數(shù)成等差數(shù)列時，我們通常設(shè)等差中項為a，公差為d，于是這三個數(shù)為： ，這樣的話它們的和就是一個差與公d無關(guān)的數(shù)，（只與等差中項a有關(guān)）這樣通?？梢院喕\算，同理若四個連續(xù)的數(shù)成等差數(shù)列，我門通。
6.高中數(shù)學(xué)的數(shù)列基礎(chǔ)
只有是等差數(shù)列的話。
a(n+1)-an才會等于一個恒定的值。
不過不是定值，有的也能求，但不是等比也不是等差。
比如a(n+1)-an=-(n+2)
a(n+1)+(n+2)=an
a(n+1)+2(n+1)=an+n
這個就是個an+n的等比數(shù)列。
an-an-1=a1是想問什么？
a1是個恒定的值，那么這個就是等差數(shù)列了。
還有疑問追問我把。希望對您有所幫助
7.高三數(shù)列專題總結(jié)
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高考的熱點問題。在高考中靈活運用通項公式、前n項和公式以及兩種特殊數(shù)列的性質(zhì)將是考查的重點。在數(shù)列的考查中主要體現(xiàn)了函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、歸納等數(shù)學(xué)思想，以及待定系數(shù)法、換元法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等基本方法，應(yīng)引起足夠的重視。解答數(shù)列客觀題有三個境界：①基本元法：已知-基本元-所求；②用性質(zhì)解題；③用特殊與一般的思想。
解答題有五類：①基本運算題；②與函數(shù)、方程、不等式綜合題；③探索性問題（包括數(shù)學(xué)歸納法）；④推理證明題；⑤關(guān)于數(shù)列實際知識的應(yīng)用題。
復(fù)習(xí)策略
1、明確應(yīng)用本章知識要解決的主要問題
(1)對數(shù)列概念理解的題目；
(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列中的五個量 ，“知三求二”的問題；
(3)數(shù)列知識在實際方面的應(yīng)用。
2、解決上述問題時，一是用函數(shù)觀點來分析、解決有關(guān)數(shù)列的問題；二是要運用方程的思想解決等差數(shù)列和等比數(shù)列中的“知三求二”的問題；三是能自覺運用等差、等比數(shù)列的特性來化簡；四是掌握必要的技巧（如化歸、錯位相減、裂項求和、遞推等）；五是熟練掌握 與 的關(guān)系式的用法。
8.求高一的各種數(shù)列的題型
求數(shù)列通項公式的常規(guī)思想方法列舉（配典型例題）數(shù)列是高考中的重點內(nèi)容之一，每年的高考題都會考察到，小題一般較易，大題一般較難。
而作為給出數(shù)列的一種形式——通項公式，在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項公式的常用方法。
一. 觀察法例1：根據(jù)數(shù)列的前4項，寫出它的一個通項公式：（1）9,99,999,9999，…（2） (3) (4) 解：（1）變形為：101-1,102―1,103―1,104―1，…… ∴通項公式為： （2） (3) (4) .觀察各項的特點，關(guān)鍵是找出各項與項數(shù)n的關(guān)系。 二、定義法例2： 已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的（q∈R且q≠1）的等比數(shù)列，若函數(shù)f (x) = (x-1)2，且a1 = f (d-1),a3 = f (d+1),b1 = f (q+1),b3 = f (q-1),(1)求數(shù)列{ a n }和{ b n }的通項公式；解：（1）∵a 1=f (d-1) = (d-2)2,a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n-1)d = 2(n-1)；又b1= f (q+1)= q2,b3 =f (q-1)=(q-2)2，∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=-2，∴bn=b?qn-1=4?（-2）n-1當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項公式，只需求得首項及公差公比。
三、疊加法例3：已知數(shù)列6,9,14,21,30，…求此數(shù)列的一個通項。解 易知 ∵ ……各式相加得 ∴ 一般地，對于型如 類的通項公式，只要 能進行求和，則宜采用此方法求解。
四、疊乘法例4：在數(shù)列{ }中， =1, (n+1)? =n? ，求 的表達式。解：由（n+1）? =n? 得 ， = ? ? … = 所以 一般地，對于型如 = （n）? 類的通項公式，當(dāng) 的值可以求得時，宜采用此方法。
五、公式法若已知數(shù)列的前 項和 與 的關(guān)系，求數(shù)列 的通項 可用公式 求解。例5：已知下列兩數(shù)列 的前n項和sn的公式，求 的通項公式。
（1） 。 (2) 解： （1） = = =3 此時， 。
∴ =3 為所求數(shù)列的通項公式。（2） ，當(dāng) 時 由于 不適合于此等式 。
∴ 注意要先分n=1和 兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一。 例6. 設(shè)數(shù)列 的首項為a1=1，前n項和Sn滿足關(guān)系 求證：數(shù)列 是等比數(shù)列。
解析：因為 所以 所以，數(shù)列 是等比數(shù)列。六、階差法例7.已知數(shù)列 的前 項和 與 的關(guān)系是 ，其中b是與n無關(guān)的常數(shù)，且 。
求出用n和b表示的an的關(guān)系式。解析：首先由公式： 得：利用階差法要注意：遞推公式中某一項的下標(biāo)與其系數(shù)的指數(shù)的關(guān)系，即其和為 。
七、待定系數(shù)法例8：設(shè)數(shù)列 的各項是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項的和，若c1=2,c2=4,c3=7,c4=12，求通項公式cn解：設(shè) 點評：用待定系數(shù)法解題時，常先假定通項公式或前n項和公式為某一多項式，一般地，若數(shù)列 為等差數(shù)列：則 ， （b、c為常數(shù)），若數(shù)列 為等比數(shù)列，則 ， 。八、輔助數(shù)列法有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，?gòu)造出一個新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而利用這個數(shù)列求其通項公式。
例9.在數(shù)列 中， ， ， ，求 。解析：在 兩邊減去 ，得 ∴ 是以 為首項，以 為公比的等比數(shù)列，∴ ，由累加法得 = = … = = = 例10.(2003年全國高考題)設(shè) 為常數(shù)，且 （ ），證明：對任意n≥1， 證明：設(shè)， 用 代入可得 ∴ 是公比為 ，首項為 的等比數(shù)列，∴ （ ），即： 型如an+1=pan+f(n) (p為常數(shù)且p≠0, p≠1)可用轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列等.（1）f(n)= q (q為常數(shù))，可轉(zhuǎn)化為an+1+k=p(an+k)，得{ an+k }是以a1+k為首項，p為公比的等比數(shù)列。
例11：已知數(shù) 的遞推關(guān)系為 ，且 求通項 。解：∵ ∴ 令 則輔助數(shù)列 是公比為2的等比數(shù)列∴ 即 ∴ 例12： 已知數(shù)列{ }中 且 （ ），，求數(shù)列的通項公式。
解：∵ ∴ ， 設(shè) ，則 故{ }是以 為首項，1為公差的等差數(shù)列 ∴ ∴ 例13.(07全國卷Ⅱ理21)設(shè)數(shù)列 的首項 .（1）求 的通項公式；解：（1）由 整理得 . 又 ，所以 是首項為 ，公比為 的等比數(shù)列，得注：一般地，對遞推關(guān)系式an+1=pan+q (p、q為常數(shù)且，p≠0,p≠1)可等價地改寫成 則{ }成等比數(shù)列，實際上，這里的 是特征方程x=px+q的根。（2） f(n)為等比數(shù)列，如f(n)= qn (q為常數(shù)) ，兩邊同除以qn，得 ，令bn= ，可轉(zhuǎn)化為bn+1=pbn+q的形式。
例14.已知數(shù)列{an}中，a1= , an+1= an+( )n+1，求an的通項公式。解：an+1= an+( )n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1= (2nan)+1 令bn=2nan 則 bn+1= bn+1 易得 bn= 即 2nan= ∴ an= (3) f(n)為等差數(shù)列例15.已知已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1+an=3+2 n，求an的通項公式。
解：∵ an+1+an=3+2 n,an+2+an+1=3+2(n+1)，兩式相減得an+2-an=2 因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1)， ∴ an= 。注：一般地，這類數(shù)列是遞推數(shù)列的重點與難點內(nèi)容，要理解掌握。
（4） f(n)為非等差數(shù)列，非等比數(shù)列例16.(07天津卷理)在數(shù)列 中， ，其中 .（Ⅰ）求數(shù)列 的通項公式；解：由 ， ，可得 ，所以 為等差數(shù)列，其公差為1，首項為0，故 ，所以數(shù)列 的通項公式為 .這種方法類似于換元法， 主要用于已知遞推關(guān)系式求通項公式。九、歸納、猜想如果給出了數(shù)列的前幾項或能求出數(shù)列的前幾項，我們可以根據(jù)前幾項的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。
例17.(2002年北京春季高考)已知點的序列 ，其中 ， ， 是線段 的中點， 是線段 的中點，…， 是線段 的中點，…（1） 寫出 與 之間的關(guān)系式（ ）。（2） 設(shè) ，計算 ，由此推測 的通項公式，并。
9.幫忙總結(jié)一下高中數(shù)列的基礎(chǔ)知識
高考命題的主體內(nèi)容之一，應(yīng)切實進行全面、深入地復(fù)習(xí)，并在此基礎(chǔ)上，突出解決下述幾個問題：（1）等差、等比數(shù)列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數(shù)列的前 項和 ，則其通項為 若 滿足 則通項公式可寫成 .（2）數(shù)列計算是本章的中心內(nèi)容，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、前 項和公式及其性質(zhì)熟練地進行計算，是高考命題重點考查的內(nèi)容.（3）解答有關(guān)數(shù)列問題時，經(jīng)常要運用各種數(shù)學(xué)思想.善于使用各種數(shù)學(xué)思想解答數(shù)列題，是我們復(fù)習(xí)應(yīng)達到的目標(biāo). ①函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通項公式求和公式都可以看作是 的函數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問題可以化為函數(shù)問題求解. ②分類討論思想：用等比數(shù)列求和公式應(yīng)分為 及 ；已知 求 時，也要進行分類； ③整體思想：在解數(shù)列問題時，應(yīng)注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整 體思想求解. （4）在解答有關(guān)的數(shù)列應(yīng)用題時，要認真地進行分析，將實際問題抽象化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用有關(guān)數(shù)列知識和方法來解決.解答此類應(yīng)用題是數(shù)學(xué)能力的綜合運用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關(guān)的等比數(shù)列的第幾項不要弄錯. 一、基本概念： 1、數(shù)列的定義及表示方法： 2、數(shù)列的項與項數(shù)： 3、有窮數(shù)列與無窮數(shù)列： 4、遞增（減）、擺動、循環(huán)數(shù)列： 5、數(shù)列的通項公式an: 6、數(shù)列的前n項和公式Sn: 7、等差數(shù)列、公差d、等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)： 8、等比數(shù)列、公比q、等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)： 二、基本公式： 9、一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系：an= 10、等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d （其中a1為首項、ak為已知的第k項） 當(dāng)d≠0時，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時，an是一個常數(shù)。
11、等差數(shù)列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn= 當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0；當(dāng)d=0時（a1≠0）,Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。 12、等比數(shù)列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k （其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0） 13、等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q=1時，Sn=n a1 （是關(guān)于n的正比例式）； 當(dāng)q≠1時，Sn= Sn= 三、有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論 14、等差數(shù)列的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數(shù)列。
15、等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則 16、等比數(shù)列中，若m+n=p+q，則 17、等比數(shù)列的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數(shù)列。 18、兩個等差數(shù)列與的和差的數(shù)列、仍為等差數(shù)列。
19、兩個等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列 、、仍為等比數(shù)列。 20、等差數(shù)列的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。
21、等比數(shù)列的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。 22、三個數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三個數(shù)成等比的設(shè)法：a/q,a,aq； 四個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3 （為什么？） 24、為等差數(shù)列，則 （c>0）是等比數(shù)列。
25、（bn>0）是等比數(shù)列，則 （c>0且c 1） 是等差數(shù)列。 26. 在等差數(shù)列 中： （1）若項數(shù)為 ，則 （2）若數(shù)為 則， ， 27. 在等比數(shù)列 中： （1） 若項數(shù)為 ，則 （2）若數(shù)為 則， 四、數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。
關(guān)鍵是找數(shù)列的通項結(jié)構(gòu)。 28、分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n 29、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂項法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求數(shù)列的最大、最小項的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② （an>0） 如an= ③ an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的。
