隨機(jī)微分方程的(怎樣快速學(xué)好“倒向隨機(jī)微分方程”)

1.怎樣快速學(xué)好“倒向隨機(jī)微分方程”

“學(xué)好”的定義是比較模糊的，首先，這里定義一個(gè)最低層次的“學(xué)好”，即知識(shí)層面的了解和基本掌握，能夠看懂核心公理的證明，能夠?qū)诘瓜螂S機(jī)微分方程理論的非線性期望理論框架有一定的了解，對(duì)基于倒向隨機(jī)微分方程的計(jì)算機(jī)程序能夠看懂并簡(jiǎn)單應(yīng)用。

其次，不同數(shù)學(xué)水平的人所用的時(shí)間也是不同的。假設(shè)提問的同學(xué)是中國(guó)內(nèi)地一本數(shù)學(xué)系本科畢業(yè)，對(duì)測(cè)度論、常微和偏微方程、隨機(jī)過(guò)程掌握程度較好，那么達(dá)到上述最低層次其實(shí)并不十分困難。

我相信，通過(guò)類比概率理論的相關(guān)知識(shí)，一到兩個(gè)月（集中學(xué)習(xí)）的時(shí)間，基本可以達(dá)到。當(dāng)然，如果要達(dá)到較高層次的“學(xué)好”，建議你去山東大學(xué)讀彭實(shí)戈老師的研究生，畢竟權(quán)威的耳提面命最能提高你對(duì)于專業(yè)知識(shí)的理解。

2.隨機(jī)過(guò)程怎么學(xué)

隨機(jī)過(guò)程論與其他數(shù)學(xué)分支如位勢(shì)論、微分方程、力學(xué)及復(fù)變函數(shù)論等有密切的聯(lián)系，是在自然科學(xué)、工程科學(xué)及社會(huì)科學(xué)各領(lǐng)域研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要工具。

隨機(jī)過(guò)程論目前已得到廣泛的應(yīng)用，在諸如天氣預(yù)報(bào)、統(tǒng)計(jì)物理、天體物理、運(yùn)籌決策、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、安全科學(xué)、人口理論、可靠性及計(jì)算機(jī)科學(xué)等很多領(lǐng)域都要經(jīng)常用到隨機(jī)過(guò)程的理論來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。 一般來(lái)說(shuō)，把一組隨機(jī)變量定義為隨機(jī)過(guò)程。

在研究隨機(jī)過(guò)程時(shí)人們透過(guò)表面的偶然性描述出必然的內(nèi)在規(guī)律并以概率的形式來(lái)描述這些規(guī)律，從偶然中悟出必然正是這一學(xué)科的魅力所在。 隨機(jī)過(guò)程整個(gè)學(xué)科的理論基礎(chǔ)是由柯爾莫哥洛夫和杜布奠定的。

這一學(xué)科最早源于對(duì)物理學(xué)的研究，如吉布斯、玻爾茲曼、龐加萊等人對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的研究，及后來(lái)愛因斯坦、維納、萊維等人對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的開創(chuàng)性工作。1907年前后，馬爾可夫研究了一系列有特定相依性的隨機(jī)變量，后人稱之為馬爾可夫鏈。

1923年維納給出布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)定義，直到今日這一過(guò)程仍是重要的研究課題。隨機(jī)過(guò)程一般理論的研究通常認(rèn)為開始于20世紀(jì)30年代。

1931年，柯爾莫哥洛夫發(fā)表了《概率論的解析方法》，1934年A·辛飲發(fā)表了《平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)理論》，這兩篇著作奠定了馬爾可夫過(guò)程與平穩(wěn)過(guò)程的理論基礎(chǔ)。1953年，杜布出版了名著《隨機(jī)過(guò)程論》，系統(tǒng)且嚴(yán)格地?cái)⑹隽穗S機(jī)過(guò)程基本理論。

研究隨機(jī)過(guò)程的方法多種多樣，主要可以分為兩大類：一類是概率方法，其中用到軌道性質(zhì)、停時(shí)和隨機(jī)微分方程等；另一類是分析的方法，其中用到測(cè)度論、微分方程、半群理論、函數(shù)堆和希爾伯特空間等。實(shí)際研究中常常兩種方法并用。

另外組合方法和代數(shù)方法在某些特殊隨機(jī)過(guò)程的研究中也有一定作用。研究的主要內(nèi)容有：多指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程、無(wú)窮質(zhì)點(diǎn)與馬爾可夫過(guò)程、概率與位勢(shì)及各種特殊過(guò)程的專題討論等。

中國(guó)學(xué)者在平穩(wěn)過(guò)程、馬爾科夫過(guò)程、鞅論、極限定理、隨機(jī)微分方程等方面做出了較好的工作。 一個(gè)實(shí)際的隨機(jī)過(guò)程是任意一個(gè)受概率支配的過(guò)程，例子有：①看做是受孟德爾遺傳學(xué)支配的群體的發(fā)展；②受分子碰撞影響的微觀質(zhì)點(diǎn)的布朗運(yùn)動(dòng)，或者是宏觀空間的星體運(yùn)動(dòng)；③賭場(chǎng)中一系列的賭博；④公路一指定點(diǎn)汽車的通行。

在每一種情形，一個(gè)隨機(jī)系統(tǒng)在演化，這就是說(shuō)它的狀態(tài)隨著時(shí)間而改變，于是，在時(shí)間t的狀態(tài)具有偶然性，它是一個(gè)隨機(jī)變量x(t)，參數(shù)t的集通常是一個(gè)區(qū)間（連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過(guò)程）或一個(gè)整數(shù)集合（離散參數(shù)的隨機(jī)過(guò)程）。然而，有些作者只把隨機(jī)過(guò)程這個(gè)術(shù)語(yǔ)用于連續(xù)參數(shù)的情形。

如果系統(tǒng)的狀態(tài)用一個(gè)數(shù)來(lái)表示，x(t)就是數(shù)值的，在其他情形，x(t)可以是向量值或者更為復(fù)雜。在本條的討論中，通常限于數(shù)值的情形。

當(dāng)狀態(tài)變化時(shí)，它的值確定一個(gè)時(shí)間的函數(shù)——樣本函數(shù)，支配過(guò)程的概率規(guī)律確定賦予樣本函數(shù)的各種可能性質(zhì)的概率。 數(shù)學(xué)上的隨機(jī)過(guò)程是由實(shí)際隨機(jī)過(guò)程概念引起的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

人們研究這種過(guò)程，是因?yàn)樗菍?shí)際隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，或者是因?yàn)樗膬?nèi)在數(shù)學(xué)意義以及它在概率論領(lǐng)域之外的應(yīng)用。數(shù)學(xué)上的隨機(jī)過(guò)程可以簡(jiǎn)單的定義為一組隨機(jī)變量，即指定一參數(shù)集，對(duì)于其中每一參數(shù)點(diǎn)t指定一個(gè)隨機(jī)變量x(t)。

如果回憶起隨機(jī)變量自身就是一個(gè)函數(shù)，以ω表示隨機(jī)變量x(t)的定義域中的一點(diǎn)，并以x(t，ω)表示隨機(jī)變量在ω的值，則隨機(jī)過(guò)程就由剛才定義的點(diǎn)偶（t，ω）的函數(shù)以及概率的分配完全確定。如果固定t，這個(gè)二元函數(shù)就定義一個(gè)ω的函數(shù)，即以x(t)表示的隨機(jī)變量。

如果固定ω，這個(gè)二元函數(shù)就定義一個(gè)t的函數(shù)，這是過(guò)程的樣本函數(shù)。概率 一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的概率分配通常是由指定它的隨機(jī)變量的聯(lián)合分布來(lái)給定的，這些聯(lián)合分布以及 由它們誘導(dǎo)出來(lái)的概率可以解釋為樣本函數(shù)的性質(zhì)的概率。

例如，如果to是一個(gè)參數(shù)值，樣本函數(shù)在to取正值的概率是隨機(jī)變量x(to)有正值的概率。在這個(gè)水平上的基本定理：任意指定的自身相容的聯(lián)合概率分布對(duì)應(yīng)一隨機(jī)過(guò)程。

隨機(jī)過(guò)程的概念很廣泛，因而隨機(jī)過(guò)程的研究幾乎包括概率論的全部。雖然不能給出一個(gè)有用而又狹窄的定義，但是概率論工作者在使用隨機(jī)過(guò)程這個(gè)術(shù)語(yǔ)時(shí)，通常（除非他的興趣在于一般理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）想到的是其隨機(jī)變量具有某種有意義的相互關(guān)系的隨機(jī)過(guò)程，例如，獨(dú)立性就是這樣一種關(guān)系。

在提出隨機(jī)過(guò)程這個(gè)術(shù)語(yǔ)之前，獨(dú)立變量序列就是研究了很長(zhǎng)時(shí)間的一類隨機(jī)過(guò)程。由于歷史上的原因，一般不把這樣的序列看做是隨機(jī)過(guò)程（雖然后面將要討論它的連續(xù)參數(shù)的類似物——具有獨(dú)立增量的過(guò)程，它被看做是隨機(jī)過(guò)程）。

本條的余下部分是對(duì)某些特殊的隨機(jī)過(guò)程類作一般的論述，由于這些過(guò)程類在數(shù)學(xué)上和非數(shù)學(xué)上的應(yīng)用中十分重要，所以它們已引起了人們的極大注意。 平穩(wěn)過(guò)程 這類隨機(jī)過(guò)程中的任意有限多外隨機(jī)變量的聯(lián)合分布不受參數(shù)平移的影響，即x(t1+h)，…，x(tn+h)的分布與h無(wú)關(guān)。

微分方程 在當(dāng)今高等教育知識(shí)體系中，隨機(jī)過(guò)程方面的基礎(chǔ)知識(shí)主要在《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》和《隨機(jī)過(guò)程論》兩門課程中介紹，前者是本科階段課程，通常在大三開設(shè)，簡(jiǎn)單介紹離散時(shí)間Markov鏈、連續(xù)時(shí)間Markov鏈、Brown運(yùn)動(dòng)等；。