二次函數(shù)過關(guān)(二次函數(shù)的基本知識)
1.二次函數(shù)的基本知識
我們把形如y=ax^2+bx+c（其中a,b,c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)（quadratic function），稱a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。一般的，形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函數(shù)叫二次函數(shù)。自變量（通常為x）和因變量（通常為y）。右邊是整式，且自變量的最高次數(shù)是2。 注意，“變量”不同于“未知數(shù)”，不能說“二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)”。未知數(shù)只是一個數(shù)（具體值未知，但是只取一個值），變量可在一定范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個數(shù)或函數(shù)——也會遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別。
二次函數(shù)的解法
二次函數(shù)的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三個點(diǎn) 將三個點(diǎn)的坐標(biāo)代入也就是說三個方程解三個未知數(shù) 如題方程一8=a2+b2+c 化簡 8=c 也就是說c就是函數(shù)與Y軸的交點(diǎn)。 方程二7=a*36+b*6+c 化簡 7=36a+6b+c。 方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化簡 7=36a-6b+c。 解出a,b,c 就可以了 。 上邊這種是老老實(shí)實(shí)的解法 。 對（6,7）(-6,7)這兩個坐標(biāo) 可以求出一個對稱軸也就是X=0 。 通過對稱軸公式x=-b/2a 也可以算 。 如果知道過x軸的兩個坐標(biāo)（y=0的兩個坐標(biāo)的值叫做這個方程的兩個根）也可以用對稱軸公式x=-b/2a算 。 或者使用韋達(dá)定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。 設(shè)兩個根為X1和X2 則X1+X2= -b/a X1·X2=c/a 已知頂點(diǎn)（1,2）和另一任意點(diǎn)（3,10），設(shè)y=a(x-1)2+2，把（3,10）代入上式，解得y=2(x-1)2+2
一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
頂點(diǎn)式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）對稱軸為x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax^2的圖像相同，有時(shí)題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式。
交點(diǎn)式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線，即b^2-4ac≥0] 由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：
二次函數(shù)（16張） ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向。a>0時(shí)，開口方向向上；a
2.二次函數(shù)全面知識(支持原創(chuàng))
首先是二次函數(shù)的解析式問題。
1、待定系數(shù)法求解析式，即通常所說的聯(lián)立方程求a、b、c 2、利用對稱軸x=-b/2a輔以適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)也能求解析式，又例如已知f(x+1)=f(x-1)就是說這個二次函數(shù)對稱軸是x=1 3、實(shí)際問題的求解析式，建立坐標(biāo)系時(shí)盡量使這個二次函數(shù)成為偶函數(shù)，那么只要兩個坐標(biāo)點(diǎn)就可以求得解析式，有時(shí)也要利用偶函數(shù)的對稱性求解其他問題 然后是值域問題 1、根的判別式要熟練 2、二次不等式要求熟練十字相乘（對考試解題速度或是高二的導(dǎo)函數(shù)求解很有用） 3、韋達(dá)定理（注意韋達(dá)定理成立的必要條件是根的判別式大于等于0，尤其是圓錐曲線聯(lián)立方程時(shí)一定不能忽視） 4、某區(qū)間值域問題，注意給定的區(qū)間是否包括頂點(diǎn)，或是要判斷區(qū)間是在對稱軸左邊還是右邊，是減區(qū)間還是增區(qū)間，高考的函數(shù)應(yīng)用題求值域經(jīng)常要熟練判斷 第三是數(shù)學(xué)模型和函數(shù)的思想 這是高中數(shù)學(xué)的靈魂，很多問題的求最值在適當(dāng)?shù)臈l件下能化成二次函數(shù)的模型求解。例如求指數(shù)函數(shù)的解，換元的思想；數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題；立體幾何體積、面積最值問題等都可以化成二次函數(shù)的形式求，其中體現(xiàn)了換元的重要思想。
第四是根的存在問題 這類問題最基本的就是考數(shù)形結(jié)合的思想，關(guān)鍵抓住四點(diǎn)： 1、特殊點(diǎn)的取值 2、根的判別式 3、對稱軸 4、二次函數(shù)的某區(qū)間的單調(diào)性 例如f(x)=x^2+ax+1在[0,1]上有一實(shí)根，求a的范圍 只需令f(0)·f(1)=0即可 第五是分類討論的思想 首先是二次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)或等于0的問題，具體問題具體分析 其次是討論一個二次函數(shù)在某區(qū)間的單調(diào)性問題，這就要對對稱軸進(jìn)行討論。
3.關(guān)于二次函數(shù)的所有知識
知道二次函數(shù)的意義。
自變量的取值范圍及對所含系數(shù)的要求有哪些異同，在比較中掌握二次函數(shù)的定義。
圖象的有關(guān)技巧（y=ax2的關(guān)鍵點(diǎn)是頂點(diǎn)及關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)）。
本節(jié)的重點(diǎn)是二次函數(shù)的概念，正確畫出y=ax2的圖象，初步掌握二次函數(shù)的性質(zhì)。
函數(shù)的增減性是教學(xué)的難點(diǎn)。
函數(shù)y=ax2的圖象是一條關(guān)于y軸對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。
1. 會用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象。
2. 能利用圖象或通過配方法確定拋物線的開口方向及對稱軸、頂點(diǎn)的位置。
3. 會由已知圖象上三個點(diǎn)的坐標(biāo)求出二次函數(shù)的解析式。
對二次函數(shù)畫圖象，首先應(yīng)了解二次函數(shù)的圖象是拋物線，其關(guān)鍵點(diǎn)是它的頂點(diǎn) 拋物線與x軸有交點(diǎn)），然后依對稱性，再參照y=ax2的圖象，就可迅速畫出原二次函數(shù)的圖象。
在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的圖象，對比各種不同形式及相同形式但所含常數(shù)不同時(shí)的各種情況，歸納總結(jié)出一定的規(guī)律，從而更好地理解函數(shù)的性質(zhì)。
在函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，應(yīng)充分調(diào)動學(xué)生的積極性，引導(dǎo)他們從增減性、對稱性、最值、截距幾個方面去發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，然后再逐漸條理化。
學(xué)會函數(shù)知識的應(yīng)用，從而加強(qiáng)技能的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)。
用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象，用一般式來研究二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，是本節(jié)的重點(diǎn)。
怎樣移動便得到另一個圖象；由二次函數(shù)的圖象得出二次函數(shù)的性質(zhì)，這是一個數(shù)形結(jié)合的問題，以上三個問題是本節(jié)中的難點(diǎn)。
1. 函數(shù)y=ax2的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線y=ax2在x軸的上方，在y軸的左右兩側(cè)同時(shí)向上無限延伸；當(dāng)a<0的時(shí)候，拋物線y=ax2在x軸的下方，在y軸的左右兩側(cè)同時(shí)向下無限延伸。
2. 為了描點(diǎn)畫出二次函數(shù)y=x2的圖象，先要列出函數(shù)的對應(yīng)值表，如何選取自變量x的值呢？不妨以零為中心，均勻選取一些便于計(jì)算的x值。
(1)提出二次項(xiàng)系數(shù)；
(2)在提出二次項(xiàng)系數(shù)以后的式子，配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，同時(shí)減去該平方；
(3)將提出的二次項(xiàng)系數(shù)乘回去。
3. 在本節(jié)的學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常需要觀察圖象的特點(diǎn)以及不同圖象之間的相互關(guān)系，這正是培養(yǎng)學(xué)生觀察力、理解力的好機(jī)會，應(yīng)啟發(fā)學(xué)生各抒己見，展開討論，以得出比較滿意的結(jié)論。
4.二次函數(shù)詳解
二次函數(shù)（quadratic function）是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。
二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。
一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： 一般式 y=ax2（上標(biāo)）+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a,(4ac-b^2/4a) ； 頂點(diǎn)式 y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k為常數(shù))或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m,k）或（h,k）對稱軸為x=-m或x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax²；的圖像相同，有時(shí)題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式； 交點(diǎn)式 y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線] ； 重要概念：a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小，a的絕對值越大開口就越小，a的絕對值越小開口就越大。
牛頓插值公式（已知三點(diǎn)求函數(shù)解析式） y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引導(dǎo)出交點(diǎn)式的系數(shù)a=y1/(x1*x2) (y1為截距) 求根公式二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
求根公式 x是自變量，y是x的二次函數(shù) x1,x2=[-b±（√（b^2-4ac）)]/2a （即一元二次方程求根公式）（如右圖） 求根的方法還有因式分解法和配方法 編輯本段如何學(xué)習(xí)二次函數(shù) 1。要理解函數(shù)的意義。
2。要記住函數(shù)的幾個表達(dá)形式，注意區(qū)分。
3。一般式，頂點(diǎn)式，交點(diǎn)式，等，區(qū)分對稱軸，頂點(diǎn)，圖像等的差異性。
4。聯(lián)系實(shí)際對函數(shù)圖像的理解。
5。計(jì)算時(shí)，看圖像時(shí)切記取值范圍。
編輯本段二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=2x^2的圖像， 可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。 不同的二次函數(shù)圖像如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。
注意：草圖要有 1本身圖像，旁邊注明函數(shù)。 2畫出對稱軸，并注明X=什么 3與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)，與Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)。
拋物線的性質(zhì) 軸對稱 1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。 特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 頂點(diǎn) 2.拋物線有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( -b/2a ,4ac-b^2/4a ) 當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2;-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
開口 3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a時(shí)，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。 決定對稱軸位置的因素 4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱軸在y軸左； 因?yàn)閷ΨQ軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a0， 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號 可簡單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時(shí) （即abΔ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。 _______ Δ= b^2-4ac:R 值域：（對應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）①[（4ac-b^2）/4a， 正無窮）；②[t，正無窮） 奇偶性：當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù) 。
周期性：無 解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0，則拋物線開口朝上；a0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)： （[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）； Δ=0，圖象與x軸交于一點(diǎn)： （-b/2a,0）； Δ二次函數(shù)y=ax²;,y=a(x-h)²;,y=a(x-h)²+k,y=ax²+bx+c（各式中，a≠0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸如下表： 解析式 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對 稱 軸 y=ax^2 (0,0) x=0 y=ax^2+K (0,K) x=0 y=a(x-h)^2 (h,0) x=h y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h y=ax^2+bx+c (-b/2a,4ac-b²/4a) x=-b/2a 當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)^2；的圖象可由拋物線y=ax^2；向右平行移動h個單位得到， 當(dāng)h0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax^2；向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象； 當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線y=ax^2；向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2-k的圖象； 當(dāng)h0時(shí)，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x+h)^2+k的圖象； 當(dāng)h<0,k<0時(shí)，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x+h)^2-k的圖象；在向上或向下。
向左或向右平移拋物線時(shí)，可以簡記為“上加下減，左加右減”。 因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了。
這給畫圖象提供了方便。 2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，當(dāng)a<0時(shí)開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-b/2a,[4ac-b^2;]/4a）。
3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x ≤ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x ≥ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大。若a<0，當(dāng)x ≤ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x 。
5.有關(guān)二次函數(shù)的全部知識
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c
(a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。)
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
x是自變量，y是x的函數(shù)
二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0)
頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)] 對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c 其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （-b/2a,(4ac-b^2)/4a)</CA>
交點(diǎn)式：y=a(x-x?)（x-x ?） [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x? ，0)和 B(x?，0)的拋物線]
其中x1,2= -b±√b^2-4ac
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：
______
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?，x?=（-b±√b^2-4ac）/2a
二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱軸在y軸左；
當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于（0,c）
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)
Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。
_______
Δ= b^2-4ac當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數(shù)，在{x|x>-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變
當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c， 當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程）， 即ax^2+bx+c=0 此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。
6.二次函數(shù)常用知識
二次函數(shù)的知識點(diǎn) 1、二次函數(shù)的解析式：（1）一般式： y=ax2+bx+c(a≠0),(2)頂點(diǎn)式：y=a(x+m)2+k(a≠0)，此時(shí)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m,k）(3)分解式：y=a(x-x1)(x-x2)其中x1、x2是二次函數(shù)與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，此時(shí)二次函數(shù)的對稱軸為直線x= ;2、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：（1） 開口方向：當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)開口方向向上；當(dāng)a0時(shí)，在對稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)有最小值，并且當(dāng)x= ,y最小值= ；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)與X軸有兩個不同的交點(diǎn)；Δ=b2-4ac 0；當(dāng)x1如圖2：當(dāng)x10；當(dāng)xx2時(shí)，y (8) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,0),B(x2,0) ，則二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)之間的距離AB= = (9) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0) 中a、b、c的符號判別：（1）a的符號判別由開口方向確定：當(dāng)開口向上時(shí)，a>0；當(dāng)開口向下時(shí)，a0；若交點(diǎn)在X軸的下方，則C(10) (1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與X軸只有一個交點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)在X軸上，則Δ=b2-4ac=0;(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)在Y軸上或二次函數(shù)的圖象關(guān)于Y軸對稱，則b=0;(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過原點(diǎn)，則c=0;3、二次函數(shù)的解析式的求法：（1） 已知關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1，圖象交Y軸于點(diǎn)（0,2），且過點(diǎn)（-1,0）求這個二次函數(shù)的解析式；（2） 已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,-2），且通過點(diǎn)（1,10），求此二次函數(shù)的解析式；（3） 已知拋物線的對稱軸為直線x=2，且通過點(diǎn)（1,4）和點(diǎn)（5,0），求此拋物線的解析式；（4） 已知拋物線與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2和1 ，且通過點(diǎn)（2,8），求二次函數(shù)的解析式；（5） 已知拋物線通過三點(diǎn)（1,0）,(0,-2),(2,3)求此拋物線的解析式；（6） 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（6,-12），且與X軸的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是8，求此拋物線的解析式；（7） 拋物線經(jīng)過點(diǎn)（4,-3），且當(dāng)x=3時(shí)，y最大值=4，求此拋物線的解析式；。
7.二次函數(shù)的基本知識,全面點(diǎn)的
登陸/view/407281.htm定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)。
頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)2+k （兩個式子實(shí)質(zhì)一樣，但初中課本上都是第一個式子） 交點(diǎn)式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：（a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。）
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次。 x是自變量，y是x的二次函數(shù) x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像， 可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。
不同的二次函數(shù)圖像拋物線的性質(zhì) 1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。 特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 2.拋物線有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( -b/2a ,(4ac-b2)/4a ） 當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ= b2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a |a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。 當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱軸在y軸左； 因?yàn)槿魧ΨQ軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab 事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值。
可通過對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。 5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于（0,c） 6.拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù) Δ= b2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)。 Δ= b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。
_______ Δ= b2-4ac 當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不變 當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax2+c(a≠0) 7.定義域：R 值域：（對應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）①[（4ac-b2）/4a，正無窮）；②[t，正無窮） 奇偶性：偶函數(shù) 周期性：無 解析式： ①y=ax2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0，則拋物線開口朝上；a ⑶極值點(diǎn)：（-b/2a,(4ac-b2)/4a）； ⑷Δ=b2-4ac， Δ>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)： （[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）； Δ=0，圖象與x軸交于一點(diǎn)： （-b/2a,0）； Δ ②y=a(x-h)2+t[配方式] 此時(shí)，對應(yīng)極值點(diǎn)為（h,t），其中h=-b/2a,t=(4ac-b2)/4a）； ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式] a≠0，此時(shí)，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax2+bx+c， 當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程）， 即ax2+bx+c=0 此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。 1.二次函數(shù)y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2 +k,y=ax2+bx+c（各式中，a≠0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸如下表： 解析式 y=ax2 y=ax2+K y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 頂點(diǎn)坐標(biāo) （0,0） (0,K) (h,0) (h,k) (-b/2a,sqrt[4ac-b2]/4a) 對 稱 軸 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到， 當(dāng)h0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象； 當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2-k的圖象； 當(dāng)h0時(shí)，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x+h)2+k的圖象； 當(dāng)h<0,k0時(shí)，開口向上，當(dāng)a0，當(dāng)x ≤ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x ≥ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?| 另外，拋物線上任何一對對稱點(diǎn)的距離可以由|2*(-b/2a)-A |(A為其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)) 當(dāng)△=0.圖象與x軸只有一個交點(diǎn)； 當(dāng)△0時(shí)，圖象落在x。
8.二次函數(shù)相關(guān)知識點(diǎn)全概括
二次函數(shù) 定義與定義表達(dá)式編輯本段 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)。
重要概念：（a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。）
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次。 x是自變量，y是x的二次函數(shù) 二次函數(shù)的三種表達(dá)式編輯本段 ①一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0) ②頂點(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn) P(h,k) ]:y=a(x-h)2+k ③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1 2)(x-x22) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化： ①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系 對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為[（-b/2a）,(4ac-b2)/4a]，即 h=-b/2a=(x1 +x2)/2 k=(4ac-b2)/4a ②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系 x1,x2=[-b±√（b2_4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式） 二次函數(shù)的圖像編輯本段 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像， 可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。
拋物線的性質(zhì)編輯本段 1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。 特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 2.拋物線有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ([-b/2a ,(4ac-b2)/4a ] 當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ= b2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a |a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。 當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱軸在y軸左側(cè)； 因?yàn)槿魧ΨQ軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a<0，若要b/2a大于0，則a、b要同號 當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab 事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值。
可通過對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。 5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于（0,c） 6.拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù) Δ= b2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)。 Δ= b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。
Δ= b2-4ac 當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不變 當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax2+c(a≠0) 7.定義域：R 值域：（對應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）①[（4ac-b2）/4a，+∞）；②[t，+∞） 奇偶性：偶函數(shù) 周期性：無 解析式： ①y=ax2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0，則拋物線開口朝上；a ⑶極值點(diǎn)：（-b/2a,(4ac-b2)/4a）； ⑷Δ=b2-4ac， Δ>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)： （[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）； Δ=0，圖象與x軸交于一點(diǎn)： （-b/2a,0）； Δ ②y=a(x-h)2+t[配方式] 此時(shí)，對應(yīng)極值點(diǎn)為（h,t），其中h=-b/2a,t=(4ac-b2)/4a； 二次函數(shù)與一元二次方程編輯本段 特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax2+bx+c， 當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程）， 即ax2+bx+c=0 此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。 函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1.二次函數(shù)y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2 +k,y=ax2+bx+c（各式中，a≠0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸如下表： 解析式 y=ax2 y=ax2+K y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 頂點(diǎn)坐標(biāo) （0,0） (0,K) (h,0) (h,k) (-b/2a,[4ac-b2]/4a) 對 稱 軸 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到， 當(dāng)h0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象； 當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象； 當(dāng)h0時(shí)，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象； 當(dāng)h<0,k0時(shí)，開口向上，當(dāng)a0，當(dāng)x ≤ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x ≥ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x2-x1| 另外，拋物線上任何一對對稱點(diǎn)的距離可以由|2*(-b/2a)-A |(A為其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)) 當(dāng)△=0。.。
9.初三二次函數(shù)的知識點(diǎn)及考點(diǎn)是什么
我本人也是將升上初三的學(xué)生。一些和我大約歲數(shù)的親戚（考過中考，有滿意的也有失意的）有給我一些建議，在這里也跟大家分享下。
初一初二基礎(chǔ)要好 —— 這個是一定的，否則初三就要同時(shí)學(xué)習(xí)三個年級的課程。。抱佛腳是不可取的，在這里我建議一些初一初二各科基礎(chǔ)都不能掌握的同學(xué)，可以重讀一下初二。
我認(rèn)為在初二下學(xué)期將要升上初三的這個暑假，時(shí)間是很寶貴的（在這里不建議打暑假工）。這是給我們的初中末段最長的復(fù)習(xí)時(shí)間。應(yīng)該復(fù)習(xí)一下以前學(xué)習(xí)過的知識，不理解的要弄通，簡單的知識點(diǎn)可以一目而過，重點(diǎn)的切記要重點(diǎn)復(fù)習(xí)，特別是一些中考肯定出現(xiàn)的，切記要牢牢掌握！別錯過了這可遇不可求的復(fù)習(xí)時(shí)間，等中考失敗了再后悔就晚了！
我沒經(jīng)歷過初三，沒經(jīng)歷過中考，耳聽目染的，我也知道了一些初一初二數(shù)學(xué)的中考必考。
1. 解方程，我們要孰能生巧。至于是幾元幾次的，要做到迎面而解！
2. 化簡求值，這就對基礎(chǔ)要求很高了。會出那種看似復(fù)雜的式子，=障眼法。我們做這種題時(shí)，要相信是有解的，抱著一定有“近路”的思想做。而且我們不只要會做，還要“秒”！不應(yīng)該在這種障眼法上浪費(fèi)過多的時(shí)間。
3. 函數(shù)的。。xyk
4. 路程或工作問題，會出現(xiàn)在應(yīng)用題上，需要設(shè)未知數(shù)的。
5. 在應(yīng)用題方面，更要加強(qiáng)的是對三角形，平行四邊形，梯形，矩形，菱形，圓。（咱們學(xué)過的形）的掌握。像什么求面積，周長，對角線等等等，花樣是百出的，對這些性質(zhì)、定義、判定的掌握和活學(xué)活用才是必要的！——在這里舉個例子，如果遇上一求多邊形面積和周長的題，別說沒學(xué)過求多邊形面積的，要試試做輔助線，把它分成倆份或多份來求！
6. 我們還學(xué)過其他一些知識，像科學(xué)記數(shù)法、正負(fù)數(shù)、不等式組、同類項(xiàng)、根號、分式啥的。（沒帶課本，具體的說不清，應(yīng)該看得懂，望諒解） 包括上面說過的，會出現(xiàn)在選擇題和填空題上，網(wǎng)羅的方面是很多的，要注意別在小細(xì)節(jié)上出錯。
再次強(qiáng)調(diào)，我沒經(jīng)歷過初三，不知道初三數(shù)學(xué)有教什么新的知識點(diǎn)，不知道會不會出現(xiàn)在中考。而且我上面說的6點(diǎn)不是試卷的全部！謹(jǐn)慎一點(diǎn)，權(quán)當(dāng)參考。
在網(wǎng)上看到這個，可以看一看，
中考新題型分類
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考點(diǎn)11 改錯題與自編題
考點(diǎn)12 改錯題與自編題
考點(diǎn)13 多項(xiàng)選擇題
考點(diǎn)14 綜合題
要考上好的高中是為了有一個好的高中學(xué)習(xí)環(huán)境，別因此給自己太多的壓力，其實(shí)在一所一般的學(xué)校中，成績保持前茅時(shí)，學(xué)習(xí)效率也是不錯的。。所以別給自己太多壓力，記得要選擇適合自己的目標(biāo)，量力而行！
①保持良好心態(tài)（平常心），保持在半緊張半不緊張的心理狀態(tài)中；
②掌握復(fù)習(xí)方法和復(fù)習(xí)策略；
③身體健康！
有些同學(xué)會在網(wǎng)上查找大量的“學(xué)習(xí)方法”，記住選擇適合自己的，求精不求多。
可能是對同是初二的樓主抱有“同病相憐”的感覺。我第一次打了這么多字去回答一個提問，第一次這么編輯，可能有些粗糙，，還是望樓主采納，^_^ 最好能追加些分給我，累死啦?。海篲：：
