二次函數(shù)整理(二次函數(shù)知識點(diǎn)歸納)

1.二次函數(shù)知識點(diǎn)歸納

二次函數(shù) I.定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.) 則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0) 頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)] 交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線] 注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì)1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）2.拋物線有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。

當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a|a|越大，則拋物線的開口越小。4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于（0,c）6.拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù) Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)。

Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。Δ= b^2-4acV.二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2;+bx+c，當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即ax^2;+bx+c=0 此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。答案補(bǔ)充 畫拋物線y=ax2時，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最后連線。

列表選取自變量x值時常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。二次函數(shù)解析式的幾種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0).(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).(3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，a≠0.說明：（1）任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h,k）,h=0時，拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k=0時，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h=0且k=0時，拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 答案補(bǔ)充 如果圖像經(jīng)過原點(diǎn)，并且對稱軸是y軸，則設(shè)y=ax^2；如果對稱軸是y軸，但不過原點(diǎn)，則設(shè)y=ax^2+k 定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。

IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。) 則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。x是自變量，y是x的函數(shù) 二次函數(shù)的三種表達(dá)式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0) ②頂點(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn) P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系 對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）。

2.二次函數(shù)的知識點(diǎn)歸納

二次函數(shù) I.定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.) 則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。 II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0) 頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)] 交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線] 注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系： h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像， 可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì) 1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。 特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 2.拋物線有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。

當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。 3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a|a|越大，則拋物線的開口越小。 4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。 拋物線與y軸交于（0,c） 6.拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù) Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)。

Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。 Δ= b^2-4acV.二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2;+bx+c， 當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程）， 即ax^2;+bx+c=0 此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。 答案補(bǔ)充 畫拋物線y=ax2時，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最后連線。

列表選取自變量x值時常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。 二次函數(shù)解析式的幾種形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0). (2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0). (3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，a≠0. 說明：（1）任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h,k）,h=0時，拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k=0時，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h=0且k=0時，拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 答案補(bǔ)充 如果圖像經(jīng)過原點(diǎn)，并且對稱軸是y軸，則設(shè)y=ax^2；如果對稱軸是y軸，但不過原點(diǎn)，則設(shè)y=ax^2+k定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax^2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。

IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。) 則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。 x是自變量，y是x的函數(shù) 二次函數(shù)的三種表達(dá)式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0) ②頂點(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn) P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化： ①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系 對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）。

3.二次函數(shù)知識點(diǎn)

★二次函數(shù)知識點(diǎn)歸納★ 一、二次函數(shù)的幾種形式：1. 的性質(zhì)：的圖像及性質(zhì) 的符號 草圖 開口方向 向上 向下 頂點(diǎn) 坐標(biāo) 對稱軸 軸（直線x=0） 軸（直線x=0） 增減性 時，隨的增大而減小 時，隨的增大而增大 時，隨的增大而增大 時，隨的增大而減小 最值 時，有最小值. 時，有最大值. 開口 大小 越大，拋物線的開口越小2. 的性質(zhì)：的圖像及性質(zhì) 的符號 草圖 開口方向 向上 向下 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對稱軸 軸（直線x=0） 軸（直線x=0） 增減性 時，隨的增大而減小 時，隨的增大而增大 時，隨的增大而增大 時，隨的增大而減小 最值 時，有最小值. 時，有最大值. 平移規(guī)律 上加下減3. 的性質(zhì)：的圖像及性質(zhì) 的符號 草圖 開口方向 向上 向下 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對稱軸 直線x=h 直線x=h 增減性 時，隨的增大而減小 時，隨的增大而增大 時，隨的增大而增大 時，隨的增大而減小 最值 時，有最小值. 時，有最大值 平移規(guī)律 左加右減。

4. 的性質(zhì)：的圖像及性質(zhì) 的符號 草圖 開口方向 向上 向下 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對稱軸 直線x=h 直線x=h 增減性 時，隨的增大而減小 時，隨的增大而增大 時，隨的增大而增大 時，隨的增大而減小 最值 時，有最小值. 時，有最大值. 平移規(guī)律 左加右減，上加下減5、的性質(zhì) 二次函數(shù) 的符號 草圖 開口方向 向上 向下 頂點(diǎn) 坐標(biāo) （，） （，） 對稱軸 直線X= 直線X= 增減性 x時，隨的增大而增大 x時，隨的增大而減小 最值 當(dāng)x=時，y有最小值， 當(dāng)x=時，y有最大值，平移規(guī)律 左加右減，上加下減 二、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1、拋物線與軸交點(diǎn)：（由的值來決定） 與軸總有交點(diǎn)坐標(biāo)為，；的值 與軸交點(diǎn) 草圖 與軸交點(diǎn)在軸上方 與軸交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) 與軸交點(diǎn)在軸下方 2、拋物線與軸交點(diǎn)：（由b2-4ac的值來決定） 求與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需解一元二次方程；判別式 拋物線與軸交點(diǎn)情況 一元二次方程跟的情況 與軸有兩個交點(diǎn) 有兩個不相等實(shí)根 與軸只有一個交點(diǎn) 有兩個相等的實(shí)數(shù)根 與軸無交點(diǎn) 無實(shí)數(shù)根.3、對稱軸情況：（由a、b的值共同決定） 由、共同決定 對稱軸情況 草圖 在軸左側(cè) 是軸 軸的右側(cè) 也可由的符號判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異” 三、二次函數(shù)解析式的確定： ①. 一般式：； ②. 頂點(diǎn)式：； ③. 兩根式：. 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便.一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式. —————————————————————————————— 一元二次函數(shù)知識點(diǎn)匯總1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的一元二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)（1）拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對稱軸是軸.（2）函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系： ①當(dāng)時拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng)時拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)3.二次函數(shù) 的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn). ①決定拋物線的開口方向： 當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下；越小，拋物線的開口越大，越大，拋物線的開口越小。 ②對稱軸為平行于軸（或重合）的直線，記作.特別地，軸記作直線. ③定點(diǎn)是拋物線的最值點(diǎn)[最大值（時）或最小值（時）]，坐標(biāo)為（，）。

6.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法（1）公式法：，∴頂點(diǎn)是，對稱軸是直線.（2）配方法：運(yùn)用配方法將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為（，），對稱軸是. （3）運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以拋物線上縱坐標(biāo)相等的兩個點(diǎn)連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).★用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失★7.拋物線中，的作用（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故： ①時，對稱軸為軸；②時，對稱軸在軸左側(cè)；③時，對稱軸在軸右側(cè).（3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(diǎn)（0，）：，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)； ②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 .8. 二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式： ①；②；③；④；⑤.圖像特征如下：函數(shù)解析式 開口方向 對稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) 當(dāng)時 開口向上 當(dāng)時 開口向下 （軸） （0,0） （軸） （0, ） (,0) (,) ()9.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對、的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.10.直線與拋物線的交點(diǎn)（或稱二次函數(shù)與一次函數(shù)關(guān)系） （1）軸與拋物線得交點(diǎn)為（） （2）與軸平行的直。

4.二次函數(shù)的知識點(diǎn)有哪些

二次函數(shù)的知識點(diǎn)1.二次函數(shù)的定義：y=ax^2+bx+c(a≠0)2.圖像和性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax^2(a>0)的圖像和性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2(a0)的圖像和性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a<0)的圖像和性質(zhì).圖像：列對應(yīng)值描點(diǎn)作圖法； 根據(jù)對稱性作圖法.圖像的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo).性質(zhì)：對稱性，對稱軸及方程； 單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間；最大值，最小值.3.二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)三種形式及應(yīng)用：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0)頂點(diǎn)式：y=a(x-r)^2+h兩點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)4.二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的平移變換5.常用方法：配方法.待定系數(shù)法。

5.二次函數(shù)完整的知識點(diǎn)

定義與定義表達(dá)式 我們把形如y=ax^2+bx+c（其中a,b,c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)（quadratic function），稱a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。

一般的，形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函數(shù)叫二次函數(shù)。自變量（通常為x）和因變量（通常為y）。

右邊是整式，且自變量的最高次數(shù)是2。 注意，“變量”不同于“未知數(shù)”，不能說“二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)”。

未知數(shù)只是一個數(shù)（具體值未知，但是只取一個值），變量可在一定范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個數(shù)或函數(shù)——也會遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。

從函數(shù)的定義也可看出二者的差別。二次函數(shù)的解法 二次函數(shù)的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三個點(diǎn) 將三個點(diǎn)的坐標(biāo)帶入也就是說三個方程解三個未知數(shù) 如題方程一8=a2+b2+c 化簡 8=c 也就是說c就是函數(shù)與Y軸的交點(diǎn)。

方程二7=a*36+b*6+c 化簡 7=36a+6b+c。 方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化簡 7=36a-6b+c。

解出a,b,c 就可以了 。 上邊這種是老老實(shí)實(shí)的解法 。

對（6,7）(-6,7)這兩個坐標(biāo) 可以求出一個對稱軸也就是X=0 。 通過對稱軸公式x=-b/2a 也可以算 。

如果知道過x軸的兩個坐標(biāo)（y=0的兩個坐標(biāo)的值叫做這個方程的兩個根）也可以用對稱軸公式x=-b/2a算 。 或者使用韋達(dá)定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。

設(shè)兩個根為X1和X2 則X1+X2= -b/a X1·X2=c/a一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a,4ac-b^2;/4a）頂點(diǎn)式 y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）對稱軸為x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax^2的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式交點(diǎn)式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線，即b^2-4ac≥0] 由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：二次函數(shù)（16張） ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向。a>0時，開口方向向上；a<0時，開口方向向下。

a的絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越大開口就越小，a的絕對值越小開口就越大。

牛頓插值公式（已知三點(diǎn)求函數(shù)解析式） y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引導(dǎo)出交點(diǎn)式的系數(shù)a=y1/(x1·x2)(y1為截距) 求根公式二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

求根公式 x是自變量，y是x的二次函數(shù) x1,x2=[-b±（√（b^2-4ac）]/2a （即一元二次方程求根公式）（如右圖） 求根的方法還有因式分解法和配方法 二次函數(shù)與X軸交點(diǎn)的情況 當(dāng)△=b^2-4ac>0時， 函數(shù)圖像與x軸有兩個交點(diǎn)。 當(dāng)△=b^2-4ac=0時，函數(shù)圖像與x軸有一個交點(diǎn)。

當(dāng)△=b^2-4ac<0時，函數(shù)圖像與x軸沒有交點(diǎn)。編輯本段圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像， 可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。

如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤，那么二次函數(shù)圖像將是由一般式平移得到的。 注意：草圖要有 1本身圖像，旁邊注明函數(shù)。

2畫出對稱軸，并注明直線X=什么 （X= -b/2a） 3與X軸交點(diǎn)坐標(biāo) （x1,y1）;(x2, y2)，與Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)（0,c），頂點(diǎn)坐標(biāo)（-b/2a, (4ac-bx2/4a).軸對稱 1.二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = h或者x=-b/2a 對稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)P。

特別地，當(dāng)h=0時，二次函數(shù)圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0） a,b同號，對稱軸在y軸左側(cè) b=0，對稱軸是y軸 a,b異號，對稱軸在y軸右側(cè)頂點(diǎn) 2.二次函數(shù)圖像有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( h,k ) 當(dāng)h=0時，P在y軸上；當(dāng)k=0時，P在x軸上。即可表示為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)^2;+k h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a開口 3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時，二次函數(shù)圖像向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口。 |a|越大，則二次函數(shù)圖像的開口越小。

決定對稱軸位置的因素 4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。 當(dāng)a>0，與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左； 因?yàn)閷ΨQ軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a0，與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。

因?yàn)閷ΨQ軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是- b/2a>0， 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號 可簡單記憶為同左異右，即當(dāng)a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab<0 ），對稱軸在y軸右。 事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的 斜率k的值。

可通過對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。決定二次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)的因素 5.常數(shù)項(xiàng)c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)。

二次函數(shù)圖像與y軸交于（0,C） 注意：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k） 與y軸交于（0,C）二次函數(shù)圖。

6.二次函數(shù)知識點(diǎn)歸納

a > 0： 三者均開口向上；對稱軸分別為x = 0, x = 0, x = h頂點(diǎn)分別為（0, 0）, (0, k), (h, k)最值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，分別為0, 0, k （均為最小值）前二者在x0時為增函數(shù)；第三者xh時為增函數(shù)a < 0三者均開口向下對稱軸分別為x = 0, x = 0, x = h頂點(diǎn)分別為（0, 0）, (0, k), (h, k)最值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，分別為0, 0, k （均為最大值）前二者在x0時為減函數(shù)；第三者xh時為減函數(shù)y = a(x-h)2+kh > 0,k>0 : y = a(x-h)2+k是從y=ax2向右平移h個單位，再向上平移k個單位得到的h > 0,k<0 : y = a(x-h)2+k是從y=ax2向右平移h個單位，再向下平移-k個單位得到的h 0 : y = a(x-h)2+k是從y=ax2向左平移-h個單位，再向上平移k個單位得到的h < 0,k<0 : y = a(x-h)2+k是從y=ax2向左平移-h個單位，再向下平移-k個單位得到的。