高中橢圓必會(高二數(shù)學(xué)橢圓知識點(diǎn))

1.高二數(shù)學(xué) 橢圓 知識點(diǎn)

一、課標(biāo)要求

1.了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；

2.掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；

3.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)；

4.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用；

5.理解數(shù)形結(jié)合的思想

二、考點(diǎn)回顧1——橢圓：

1.利用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法（先定性、后定型、再定參）。

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，所謂“標(biāo)準(zhǔn)”，就是橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦點(diǎn)F1、F2的位置決定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，是橢圓的定位條件；參數(shù)a、b 決定橢圓的形狀和大小，是橢圓的定形條件。對于方程x^2/m+y^2/n=1 ,m>0,n>0若m>n ，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；若m<n ，則橢圓的焦點(diǎn)在y軸上。焦點(diǎn)位置不明確時，要注意分類討論。

(2)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時，可設(shè)方程為x^2/m+y^2/n=1 ,m>0,n>0 ，可以避免討論和繁雜的計算，也可以設(shè)Ax^2+By^2=1(A>0,B>0) ，這種形式在解題中更簡便。

2.橢圓定義的應(yīng)用：

平面內(nèi)一動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)F1 、F2 的距離之和等于常數(shù)2a ，當(dāng)2a >|F1F2 |時，動點(diǎn)的軌跡是橢圓；當(dāng) 2a=|F1F2 |時，動點(diǎn)的軌跡是線段F1F2 ；當(dāng) 2a<|F1F2 |時，軌跡為存在。

3.橢圓的幾何性質(zhì)：

(1)設(shè)橢圓的方程x^2/a^2+y^2/b^2=1 上任意一點(diǎn)為P ，則OP^2=x^2+y^2 ，當(dāng)x=-a,a時有最大值 ，這時P在長軸端點(diǎn)A1或A2處。

(2)橢圓上任意一點(diǎn)P 與兩焦點(diǎn)F1F2 ， 構(gòu)成三角形 稱之為焦點(diǎn)三角形，周長為2a+2c 。

(3)橢圓的一個焦點(diǎn)、中心和短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的邊長，有a^2=b^2+c^2 。

4.直線與橢圓的相交問題

在解決有關(guān)橢圓的問題時，要先畫出圖形，解題時重視方程的幾何意義和圖形的輔助作用，將對幾何圖形的研究轉(zhuǎn)化為對代數(shù)式的研究，同時又要理解代數(shù)問題的幾何意義。數(shù)形結(jié)合的思想方法是解析幾何中基本的思想方法。解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)研究幾何，如求軌跡方程、范圍問題等，幾乎都與函數(shù)有關(guān)，實質(zhì)即將幾何條件（性質(zhì)）表示為動點(diǎn)坐標(biāo)（x,y） 的方程或函數(shù)關(guān)系。因此，自覺地運(yùn)用函數(shù)方程的觀點(diǎn)是解此類問題的關(guān)鍵。

2.數(shù)學(xué)中橢圓相關(guān)知識點(diǎn)

實用工具：常用數(shù)學(xué)公式 公式分類 公式表達(dá)式 乘法與因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√（b2-4ac）/2a -b-√（b2-4ac）/2a 根與系數(shù)的關(guān)系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韋達(dá)定理 判別式 b2-4ac=0 注：方程有兩個相等的實根 b2-4ac>0 注：方程有兩個不等的實根 b2-4ac0 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱側(cè)面積 S=c*h 斜棱柱側(cè)面積 S=c'*h 正棱錐側(cè)面積 S=1/2c*h' 正棱臺側(cè)面積 S=1/2(c+c')h' 圓臺側(cè)面積 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面積 S=4pi*r2 圓柱側(cè)面積 S=c*h=2pi*h 圓錐側(cè)面積 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數(shù)r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r 錐體體積公式 V=1/3*S*H 圓錐體體積公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱體積 V=S'L 注：其中，S'是直截面面積， L是側(cè)棱長 柱體體積公式 V=s*h 圓柱體 V=pi*r2h tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α 誘導(dǎo)公式 sin（-α）=-sinα cos（-α）=cosα tan（-α）=-tanα cot（-α）=-cotα sin（π/2-α）=cosα cos（π/2-α）=sinα tan（π/2-α）=cotα cot（π/2-α）=tanα sin（π/2+α）=cosα cos（π/2+α）=-sinα tan（π/2+α）=-cotα cot（π/2+α）=-tanα sin（π-α）=sinα cos（π-α）=-cosα tan（π-α）=-tanα cot（π-α）=-cotα sin（π+α）=-sinα cos（π+α）=-cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα （其中k∈Z） 兩角和與差的三角函數(shù)公式 萬能公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ tan（α+β）=—————— 1-tanα ·tanβ tanα-tanβ tan（α-β）=—————— 1+tanα ·tanβ 2tan（α/2） sinα=—————— 1+tan2（α/2） 1-tan2（α/2） cosα=—————— 1+tan2（α/2） 2tan（α/2） tanα=—————— 1-tan2（α/2） 半角的正弦、余弦和正切公式 三角函數(shù)的降冪公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α 2tanα tan2α=————— 1-tan2α sin3α=3sinα-4sin3α cos3α=4cos3α-3cosα 3tanα-tan3α tan3α=—————— 1-3tan2α 三角函數(shù)的和差化積公式 三角函數(shù)的積化和差公式 α+β α-β sinα+sinβ=2sin—--·cos—-— 2 2 α+β α-β sinα-sinβ=2cos—--·sin—-— 2 2 α+β α-β cosα+cosβ=2cos—--·cos—-— 2 2 α+β α-β cosα-cosβ=-2sin—--·sin—-— 2 2 1 sinα ·cosβ=-[sin（α+β）+sin（α-β）] 2 1 cosα ·sinβ=-[sin（α+β）-sin（α-β）] 2 1 cosα ·cosβ=-[cos（α+β）+cos（α-β）] 2 1 sinα ·sinβ=- -[cos（α+β）-cos（α-β）] 2 反函數(shù) 一般地，如果x與y關(guān)于某種對應(yīng)關(guān)系f(x)相對應(yīng)，y=f(x)。

則y=f(x)的反函數(shù)為y=f(x)^-1。 存在反函數(shù)的條件是原函數(shù)必須是一一對應(yīng)的（不一定是整個數(shù)域內(nèi)的） 【反函數(shù)的性質(zhì)】 （1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱； （2）函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射； （3）一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)。

3.數(shù)學(xué) 橢圓的知識

焦距為2說明c=2.橢圓焦點(diǎn)有可能在x軸，也有可能在y軸。當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，（x2╱m）+(y2╱4)=1(m>4)，所以b^2=4,a^2=b^2+c^2=8，所以（x2╱8）+(y2╱4)=1。當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，（x2╱m）+(y2╱4)=1(m<4)，所以a^2=4，所以b^2=a^2-c^2=0，不符合。所以方程為（x2╱8）+(y2╱4)=1

望樓主采納 不好意思，說錯，是焦距為2說明2c=2,c=1.橢圓焦點(diǎn)有可能在x軸，也有可能在y軸。當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，（x2╱m）+(y2╱4)=1(m>4)，所以b^2=4,a^2=b^2+c^2=5，所以（x2╱5）+(y2╱4)=1。當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，（x2╱m）+(y2╱4)=1(m<4)，所以a^2=4，所以b^2=a^2-c^2=4-1=3，所以方程為（x2╱3）+(y2╱4)=1.或（x2╱5）+(y2╱4)=1 對啊，答案是3和5，我最后一步忘了打………