哪些方法可以證明勾股定理(勾股定理的證明方法有那些)
1.勾股定理的證明方法有那些
勾股定理的證明：在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。
首先介紹勾股定理的兩個(gè)最為精彩的證明，據(jù)說(shuō)分別來(lái)源于中國(guó)和希臘。 1.中國(guó)方法：畫兩個(gè)邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。
這兩個(gè)正方形全等，故面積相等。 左圖與右圖各有四個(gè)與原直角三角形全等的三角形，左右四個(gè)三角形面積之和必相等。
從左右兩圖中都把四個(gè)三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個(gè)正方形，分別以a、b為邊。
右圖剩下以c為邊的正方形。于是 a^2+b^2=c^2。
這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡(jiǎn)單，任何人都看得懂。
2.希臘方法：直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。 容易看出， △ABA' ≌△AA'C 。
過(guò)C向A''B''引垂線，交AB于C'，交A''B''于C''。 △ABA'與正方形ACDA'同底等高，前者面積為后者面積的一半，△AA''C與矩形AA''C''C'同底等高，前者的面積也是后者的一半。
由△ABA'≌△AA''C，知正方形ACDA'的面積等于矩形AA''C''C'的面積。同理可得正方形BB'EC的面積等于矩形B''BC'C''的面積。
于是， S正方形AA''B''B=S正方形ACDA'+S正方形BB'EC， 即 a2+b2=c2。 至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補(bǔ)法得到（請(qǐng)讀者自己證明）。
這里只用到簡(jiǎn)單的面積關(guān)系，不涉及三角形和矩形的面積公式。 這就是希臘古代數(shù)學(xué)家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。
以上兩個(gè)證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個(gè)基本觀念： ⑴ 全等形的面積相等； ⑵ 一個(gè)圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。 這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。
我國(guó)歷代數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附于《周髀算經(jīng)》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。采用的是割補(bǔ)法： 如圖，將圖中的四個(gè)直角三角形涂上朱色，把中間小正方形涂上黃色，叫做中黃實(shí)，以弦為邊的正方形稱為弦實(shí)，然后經(jīng)過(guò)拼補(bǔ)搭配，“令出入相補(bǔ)，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。
即“勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開(kāi)方除之，即弦也”。 趙爽對(duì)勾股定理的證明，顯示了我國(guó)數(shù)學(xué)家高超的證題思想，較為簡(jiǎn)明、直觀。
西方也有很多學(xué)者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達(dá)哥拉斯給出的。據(jù)說(shuō)當(dāng)他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。
故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達(dá)哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無(wú)從知道他的證法。
下面介紹的是美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德對(duì)勾股定理的證明。 如圖， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。
② 比較以上二式，便得 a2+b2=c2。 這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當(dāng)簡(jiǎn)潔。
1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證明。5年后，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)。
后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的“總統(tǒng)”證法，這在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。 在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個(gè)直角三角形所分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。
如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足為D。
則 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。
② 我們發(fā)現(xiàn)，把①、②兩式相加可得 BC2+AC2=AB(AD+BD)， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，這就是 a2+b2=c2。 這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡(jiǎn)潔。
它利用了相似三角形的知識(shí)。 在對(duì)勾股定理為數(shù)眾多的證明中，人們也會(huì)犯一些錯(cuò)誤。
如有人給出了如下證明勾股定理的方法： 設(shè)△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因?yàn)椤螩=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。
這一證法，看來(lái)正確，而且簡(jiǎn)單，實(shí)際上卻犯了循環(huán)證論的錯(cuò)誤。原因是余弦定理的證明來(lái)自勾股定理。
人們對(duì)勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。 歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個(gè)直邊形，其面積為兩直角邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之和”。
從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。 勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對(duì)應(yīng)棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個(gè)多面體表面積之和。
若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球表面積之和。 如此等等。
另：八年級(jí)數(shù)學(xué)勾股定理的證明（介紹16種證明的方法）（數(shù)學(xué)教案） /。
2.勾股定理5種證明方法
魅力無(wú)比的定理證明 ——勾股定理的證明 勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)。
也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾?jiǎn)單，更容易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。1940年出版過(guò)一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。
實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國(guó)清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無(wú)法比擬的。
在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。首先介紹勾股定理的兩個(gè)最為精彩的證明，據(jù)說(shuō)分別來(lái)源于中國(guó)和希臘。
1.中國(guó)方法 畫兩個(gè)邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個(gè)正方形全等，故面積相等。
左圖與右圖各有四個(gè)與原直角三角形全等的三角形，左右四個(gè)三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個(gè)三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。
左圖剩下兩個(gè)正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。
于是 a2+b2=c2。這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。
既直觀又簡(jiǎn)單，任何人都看得懂。2.希臘方法 直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。
容易看出，△ABA' ≌△AA'' C。過(guò)C向A''B''引垂線，交AB于C'，交A''B''于C''。
△ABA'與正方形ACDA'同底等高，前者面積為后者面積的一半，△AA''C與矩形AA''C''C'同底等高，前者的面積也是后者的一半。由△ABA'≌△AA''C，知正方形ACDA'的面積等于矩形AA''C''C'的面積。
同理可得正方形BB'EC的面積等于矩形B''BC'C''的面積。于是，S正方形AA''B''B=S正方形ACDA'+S正方形BB'EC，即 a2+b2=c2。
至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補(bǔ)法得到（請(qǐng)讀者自己證明）。這里只用到簡(jiǎn)單的面積關(guān)系，不涉及三角形和矩形的面積公式。
這就是希臘古代數(shù)學(xué)家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。以上兩個(gè)證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個(gè)基本觀念：⑴ 全等形的面積相等； ⑵ 一個(gè)圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。
這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。我國(guó)歷代數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附于《周髀算經(jīng)》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。
采用的是割補(bǔ)法：如圖，將圖中的四個(gè)直角三角形涂上朱色，把中間小正方形涂上黃色，叫做中黃實(shí)，以弦為邊的正方形稱為弦實(shí)，然后經(jīng)過(guò)拼補(bǔ)搭配，“令出入相補(bǔ)，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開(kāi)方除之，即弦也”。
趙爽對(duì)勾股定理的證明，顯示了我國(guó)數(shù)學(xué)家高超的證題思想，較為簡(jiǎn)明、直觀。西方也有很多學(xué)者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達(dá)哥拉斯給出的。
據(jù)說(shuō)當(dāng)他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。
遺憾的是，畢達(dá)哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無(wú)從知道他的證法。下面介紹的是美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德對(duì)勾股定理的證明。
如圖，S梯形ABCD= (a+b)2= (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED= ab+ ba+ c2= (2ab+c2)。 ② 比較以上二式，便得 a2+b2=c2。
這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當(dāng)簡(jiǎn)潔。1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證明。
5年后，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)。后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的“總統(tǒng)”證法，這在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。
在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個(gè)直角三角形所分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。
作CD⊥BC，垂足為D。則 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 我們發(fā)現(xiàn)，把①、②兩式相加可得 BC2+AC2=AB(AD+BD)，而AD+BD=AB，因此有 BC2+AC2=AB2，這就是 a2+b2=c2。
這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡(jiǎn)潔。它利用了相似三角形的知識(shí)。
在對(duì)勾股定理為數(shù)眾多的證明中，人們也會(huì)犯一些錯(cuò)誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法：設(shè)△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，因?yàn)椤螩=90°，所以cosC=0。
所以 a2+b2=c2。這一證法，看來(lái)正確，而且簡(jiǎn)單，實(shí)際上卻犯了循環(huán)證論的錯(cuò)誤。
原因是余弦定理的證明來(lái)自勾股定理。人們對(duì)勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。
歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個(gè)直邊形，其。
3.勾股定理的最簡(jiǎn)單的證明方法是什么
簡(jiǎn)單的勾股定理的證明方法如下：
拓展資料：
勾股定理的使用方法：
1、確保三角形是直角三角形。 勾股定理只適用于直角三角形中，所以，在應(yīng)用定理之前，你需要先確定三角形是否是直角三角形，這一點(diǎn)非常重要。幸好，區(qū)分直接三角形和別的三角形的方法只有一個(gè)，那就是看一個(gè)三角形中是否有一個(gè)90度的角。
2、確定變量a,b,c對(duì)應(yīng)的三角形的邊。在勾股定理中，a,b表示直角三角形的兩條直角邊，而c用來(lái)表示斜邊，即直角對(duì)應(yīng)的那條最長(zhǎng)的邊。所以，先給兩條直角邊分別標(biāo)注上a,b（具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系沒(méi)有要求），而斜邊標(biāo)注上c。
3、確定你所要求的邊。使用勾股定理可以求出直角三角形的任意一條邊的長(zhǎng)度，但前提是知道另外兩條邊的長(zhǎng)度。先確定哪一條邊的長(zhǎng)度是未知的——a,b或者c。
4、代入。將兩條已知邊的長(zhǎng)度帶入到公式a2 + b2 = c2中，其中a和b對(duì)應(yīng)的是兩直角邊的長(zhǎng)度，而c代表斜邊長(zhǎng)度。在上面的例子中，我們知道一條直角邊和斜邊的長(zhǎng)度（3和5），然后將3和5代入到公式中，有32 + b2 = 2。
5、計(jì)算平方。首先，計(jì)算兩條已知邊長(zhǎng)度的平方值?；蛘撸阋部梢韵炔挥?jì)算出來(lái)，然后保留平方，帶到式子中直接計(jì)算平方和。在上述例子中，3和5的平方分別是9和25，所以方程可以改寫為9 + b2 = 25。
6、將未知變量移到等號(hào)一邊。如果有必要的話，運(yùn)用基本的代數(shù)操作，將未知變量移動(dòng)到等號(hào)一側(cè)，而將已知變量移動(dòng)到等號(hào)的另一側(cè)。如果你要求的是斜邊長(zhǎng)，那么就不需要再移動(dòng)變量了。在上述例子中，方程式是9 + b2 = 25。兩邊同時(shí)減去9，等式變?yōu)閎2= 16。
7、求開(kāi)方?，F(xiàn)在等式兩邊一邊是數(shù)字，另一邊是變量，然后同時(shí)求兩邊的平方根。在上述例子中b2 = 16，兩邊同時(shí)求平方根，有b = 4。因此，未知邊的長(zhǎng)度就是4。
參考資料來(lái)源：搜狗百科-勾股定理
