函數(shù)定義方法(函數(shù)的表示方法有哪三種)

1.函數(shù)的表示方法有哪三種

1、列表法：一目了然，使用起來(lái)方便，但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。列表法也有它的局限性：在于求解范圍小，適用題型狹窄，大多跟尋找規(guī)律或顯示規(guī)律有關(guān)。比如，正、反比例的內(nèi)容，整理數(shù)據(jù)，乘法口訣，數(shù)位順序等內(nèi)容的教學(xué)大都采用“列表法”。

2、解析式法：簡(jiǎn)單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過(guò)程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問(wèn)提中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。

3、圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。把一個(gè)函數(shù)的自變量x與對(duì)應(yīng)的因變量y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。這種表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。

拓展資料：

函數(shù)的定義：給定一個(gè)數(shù)集A，假設(shè)其中的元素為x。現(xiàn)對(duì)A中的元素x施加對(duì)應(yīng)法則f，記作f(x)，得到另一數(shù)集B。假設(shè)B中的元素為y。則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f(x)表示。我們把這個(gè)關(guān)系式就叫函數(shù)關(guān)系式，簡(jiǎn)稱函數(shù)。

函數(shù)概念含有三個(gè)要素：定義域A、值域C和對(duì)應(yīng)法則f。其中核心是對(duì)應(yīng)法則f，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。

函數(shù)（function），最早由中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯，出于其著作《代數(shù)學(xué)》。之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，或者說(shuō)一個(gè)量中包含另一個(gè)量。

函數(shù)的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點(diǎn)出發(fā)。

參考資料：搜狗百科詞條 函數(shù)

2.數(shù)學(xué)中給概念下定義方法有哪些

什么叫給概念下定義，就是用已知的概念來(lái)認(rèn)識(shí)未知的概念，使未知的概念轉(zhuǎn)化為已知的概念，叫做給概念下定義.概念的定義都是由已下定義的概念（已知概念）與被下定義的概念（未知概念）這兩部分組成的.例如，有理數(shù)與無(wú)理數(shù)（下定義的概念），統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)（被下定義的概念）；平行四邊形（被下定義的概念）是兩組對(duì)邊分別平行的四邊形（下定義的概念）.其定義方法有下列幾種. 1、直覺(jué)定義法 直覺(jué)定義亦稱原始定義，憑直覺(jué)產(chǎn)生的原始概念，這些概念不能用其它概念來(lái)解釋，原始概念的意義只能借助于其它術(shù)語(yǔ)和它們各自的特征給予形象的描述.如幾何中的點(diǎn)、直線、平面、集合的元素、對(duì)應(yīng)等.原始概念是人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐活動(dòng)中，對(duì)一類事物概括、抽象的結(jié)果，是原創(chuàng)性抽象思維活動(dòng)的產(chǎn)物.直覺(jué)定義為數(shù)不多. 2、“種+類差”定義法 種+類差”定義法：被定義的概念=最鄰近的種概念（種）+類差。

這是下定義常用的內(nèi)涵法。“最鄰近的種概念”，就是被定義概念的最鄰近的種概念，“類差”就是被定義概念在它的最鄰近的種概念里區(qū)別于其它類概念的那些本質(zhì)屬性。

例如，以“平行四邊形”為最鄰近的種概念的類概念有“矩形”、“菱形”，“菱形”的“鄰邊相等”是區(qū)別于“矩形”的本質(zhì)屬性，“鄰邊相等”就是“菱形”的類差。我們先看幾個(gè)用“種+類差”定義的例子： 等腰梯形是兩腰相等的梯形. 直角梯形是有一個(gè)底角是直角的梯形. 等腰三角形是兩邊相等或兩角相等的三角形. 邏輯上還可以通過(guò)總結(jié)外延給出定義.例如：“有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)”等. 由上述幾例可看出，用“種加類差”的方式給概念下定義，首先要找出被定義概念的最鄰近的種概念，然后把被定義概念所反映的對(duì)象同種概念中的其它類概念所反映的對(duì)象進(jìn)行比較，找出“類差”，最后把類差加最鄰近的種概念組成下定義概念而給出定義。

種加類差定義法在形式邏輯中也稱為實(shí)質(zhì)定義，屬于演繹型定義，其順序是從一般到特殊。這種定義，既揭示了概念所反映對(duì)象的特殊性，又指出了一般性，是行之有效的定義方法。

由于概念本身的類別特點(diǎn)及類差性質(zhì)的不同，在敘述形式上也有差異。 這種定義方法，能用已知的種概念的內(nèi)涵來(lái)揭示被定義概念的內(nèi)涵。

揭示了概念的內(nèi)涵，既準(zhǔn)確又明了，有助于建立概念之間的聯(lián)系，使知識(shí)系統(tǒng)化，因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)概念的定義中應(yīng)用較多. 3、發(fā)生式定義法 發(fā)生定義法（也稱構(gòu)造性定義法）：通過(guò)被定義概念所反映對(duì)象發(fā)生過(guò)程，或形成的特征的描述來(lái)揭示被定義概念的本質(zhì)屬性的定義方法稱發(fā)生定義法。這種定義法是“種+類差”定義的一種特殊形式。

定義中的類差是描述被定義概念的發(fā)生過(guò)程或形成的特征，而不是揭示被定義概念的特有的本質(zhì)屬性。 例如，平面（空間）上與定點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡叫做圓（球）.此外，中學(xué)數(shù)學(xué)中對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、微分、積分、坐標(biāo)系等概念也都是采用的發(fā)生式定義法. 又如： 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓. 圍繞一中心點(diǎn)或軸轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)又逐漸遠(yuǎn)離的動(dòng)點(diǎn)軌跡稱為螺線. 一直桿與圓相切作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，此直桿上一定點(diǎn)的軌跡稱為圓的漸開(kāi)線. 設(shè) 是試驗(yàn)E中的一個(gè)事件，若將E重復(fù)進(jìn)行n次，其中A發(fā)生了 次，則稱 為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率. 在一定條件下，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，事件A出現(xiàn)的頻率逐步穩(wěn)定于某一固定的常數(shù)P，稱P為事件A出現(xiàn)的概率. 由此可知，只要有人類的數(shù)學(xué)活動(dòng)，就有概念的發(fā)生式定義. 4、逆式定義法 這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法.例如，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；正弦、余弦、正切和余切函數(shù)叫做三角函數(shù)；橢圓、雙曲線和拋物線叫做圓錐曲線；邏輯的和、非、積運(yùn)算叫做邏輯運(yùn)算等等，都是這種定義法. 5、約定性定義法 由于實(shí)踐需要或數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要而被指定的數(shù)學(xué)概念.在實(shí)踐活動(dòng)中， 人們發(fā)現(xiàn)一些概念非常重要，便指明這些概念，以便數(shù)學(xué)活動(dòng)中使用.比如一些特定的數(shù)：圓周率 、自然對(duì)數(shù)的底e等；某些重要的值：平均數(shù)、頻數(shù)、方差等；某類數(shù)學(xué)活動(dòng)的概括：比如代數(shù)指研究有限多元素有限次運(yùn)算的數(shù)學(xué)活動(dòng)；幾何指研究空間及物體在空間結(jié)構(gòu)中結(jié)構(gòu)與形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)；隨機(jī)事件指在社會(huì)和自然界中，相同條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中其出現(xiàn)的頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定性的事情；概率指隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)學(xué)度量；等等. 同時(shí)，數(shù)學(xué)概念有時(shí)是數(shù)學(xué)發(fā)展所需要約定的.如零次冪的約定 ，模為零的向量規(guī)定為零向量，模為1的向量規(guī)定為單位向量.又如矢量積的方向由右手法則規(guī)定.數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)向?qū)W生灌輸這樣一種觀念，即數(shù)學(xué)概念是可以約定的（其更深刻的含義是數(shù)學(xué)可以創(chuàng)造）.約定是簡(jiǎn)約思想的結(jié)果，它使得數(shù)學(xué)因?yàn)橛辛诉@樣的約定而運(yùn)算簡(jiǎn)便.約定不是惟一的，但應(yīng)具有合理性或符合客觀事物的規(guī)律.如規(guī)定矢量積的方向按左手法則也不是不可以的.約定不是隨意針對(duì)的，一般只約定那些有重要作用的概念，如約定 當(dāng)n趨于無(wú)限大時(shí)的極限為自然對(duì)數(shù)的底e，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)對(duì)計(jì)算十分重要. 6、刻畫(huà)性定義 刻畫(huà)性定義法亦稱描述性定義法，數(shù)學(xué)中那些體現(xiàn)。

3.函數(shù)的定義

一、函數(shù)的定義 函數(shù)的傳統(tǒng)定義：設(shè)在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫做自變量。

我們將自變量x取值的集合叫做函數(shù)的定義域，和自變量x對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。函數(shù)的近代定義：設(shè)A,B都是非空的數(shù)的集合，f:x→y是從A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，那么從A到B的映射f:A→B就叫做函數(shù)，記作y=f(x)，其中x∈A,y∈B，原象集合A叫做函數(shù)f(x)的定義域，象集合C叫做函數(shù)f(x)的值域，顯然有CB。

符號(hào)y=f(x)即是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為：x是自變量，它是法則所施加的對(duì)象；f是對(duì)應(yīng)法則，它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數(shù)，當(dāng)x為允許的某一具體值時(shí)，相應(yīng)的y值為與該自變量值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，當(dāng)f用解析式表示時(shí)，則解析式為函數(shù)解析式。y=f(x)僅僅是函數(shù)符號(hào)，不是表示“y等于f與x的乘積”，f(x)也不一定是解析式，在研究函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)f(x)外，還常用g(x),F(x),G(x)等符號(hào)來(lái)表示。

對(duì)函數(shù)概念的理解 函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是一致的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點(diǎn)出發(fā)。這樣，就不難得知函數(shù)實(shí)質(zhì)是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的一個(gè)特殊的映射。

由函數(shù)的近代定義可知，函數(shù)概念含有三個(gè)要素：定義域A、值域C和對(duì)應(yīng)法則f。其中核心是對(duì)應(yīng)法則f，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。

y=f(x)的意義是：y等于x在法則f下的對(duì)應(yīng)值，而f是“對(duì)應(yīng)”得以實(shí)現(xiàn)的方法和途徑，是聯(lián)系x與y的紐帶，所以是函數(shù)的核心。至于用什么字母表示自變量、因變量和對(duì)應(yīng)法則，這是無(wú)關(guān)緊要的。

函數(shù)的定義域（即原象集合）是自變量x的取值范圍，它是構(gòu)成函數(shù)的一個(gè)不可缺少的組成部分。當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則完全確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定了。

因此，定義域和對(duì)應(yīng)法則為“y是x的函數(shù)”的兩個(gè)基本條件，缺一不可。只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)，這就是說(shuō)：1）定義域不同，兩個(gè)函數(shù)也就不同；2）對(duì)應(yīng)法則不同，兩個(gè)函數(shù)也是不同的；3）即使是定義域和值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則。

例如：函數(shù)y=x+1與y=2x+1，其定義域都是x∈R，值域都為y∈R。也就是說(shuō)，這兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域相同，但它們的對(duì)應(yīng)法則是不同的，因此不能說(shuō)這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)。

定義域A，值域C以及從A到C的對(duì)應(yīng)法則f，稱為函數(shù)的三要素。由于值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定。

兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域與對(duì)應(yīng)法則分別相同時(shí)，才是同一函數(shù)。例如：在①y=x與 ，② 與 ，③y=x+1與 ，④y=x0與y=1，⑤y=|x|與 這五組函數(shù)中，只有⑤表示同一函數(shù)。

f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系 f(a)表示當(dāng)x=a時(shí)函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量。而f(x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個(gè)變量，f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值。

如一次函數(shù)f(x)=3x+4，當(dāng)x=8時(shí)，f(8)=3*8+4=28是一常數(shù)。當(dāng)法則所施加的對(duì)象與解析式中表述的對(duì)象不一致時(shí)，該解析式不能正確施加法則。

比如f(x)=x2+1，左端是對(duì)x施加法則，右端也是關(guān)于x的解析式，這時(shí)此式是以x為自變量的函數(shù)的解析式；而對(duì)于f(x+1)=3x2+2x+1，左端表示對(duì)x+1施加法則，右端是關(guān)于x的解析式，二者并不統(tǒng)一，這時(shí)此式既不是關(guān)于x的函數(shù)解析式，也不是關(guān)于x+1的函數(shù)解析式。函數(shù)的定義域：定義：原象的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域，即自變量的允許值范圍。

當(dāng)函數(shù)用解析式給出時(shí)，定義域就是使式子有意義的自變量的允許值的集合。求定義域：求定義域的三種基本方法：一是依據(jù)函數(shù)解析式中所包含的運(yùn)算（除法、開(kāi)平方等）對(duì)自變量的制約要求，通過(guò)解不等式（組）求得定義域；二是依據(jù)確定函數(shù)y=f(x)的對(duì)應(yīng)法則f對(duì)作用對(duì)象的取值范圍的制約要求，通過(guò)解不等式（組）求得定義域；三是根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，規(guī)定自變量的取值范圍，求得定義域。

如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算構(gòu)成的，那么它的定義域是使各個(gè)部分都有意義的x值組成的集合。對(duì)含參數(shù)的函數(shù)求定義域（或已知定義域，求字母參數(shù)的取值范圍）時(shí)，必須對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論。

當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，其定義域由實(shí)際問(wèn)題確定。函數(shù)的值域： 定義：象的集合C(C B)叫做函數(shù)y=f(x)的值域，即函數(shù)值的變化范圍。

求值域的基本方法：依據(jù)各類基本函數(shù)的值域，通過(guò)不等式的變換，確定函數(shù)值的取值范圍，在這一過(guò)程中，充分利用函數(shù)圖像的直觀性，能有助于結(jié)論的得出和檢驗(yàn)。從定義域出發(fā)，利用函數(shù)的單調(diào)性，是探求函數(shù)值域的通法。

4.函數(shù)通常有三種表示方法

解析法，圖像法。表格法

解析法：并不是所有函數(shù)都有解析式，對(duì)于類似氣溫隨時(shí)間變化的函數(shù)是沒(méi)有解析式的，解析式是為了方便進(jìn)行數(shù)學(xué)研究，當(dāng)然，我們可以通過(guò)數(shù)學(xué)手段對(duì)一些東西進(jìn)行簡(jiǎn)單的函數(shù)擬和，從微積分的角度上來(lái)看，任何一小段（小到趨于0）的連續(xù)圖像都是線性的；

列表法：列表法有兩個(gè)意義，第一，在已知函數(shù)部分性質(zhì)的情況下，通過(guò)表中的數(shù)據(jù)比較函數(shù)的增減性；第二，通過(guò)數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)的擬和或者求函數(shù)，一般來(lái)說(shuō)，列表只能看到函數(shù)的部分情況，而且不能判斷函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)然，在知道函數(shù)是什么函數(shù)的情況下，列表可以助于求出函數(shù)解析式或者是做出函數(shù)的圖像，列表法是對(duì)函數(shù)本身?yè)p失最大的，因?yàn)樗鼇G失了大量的信息，但既然給出的數(shù)據(jù)列表法也是十分準(zhǔn)確的；

圖像法：圖像法是最直觀的，但是也是相對(duì)最不準(zhǔn)確的，對(duì)于連續(xù)的函數(shù)，可以通過(guò)圖像看出增減性、零點(diǎn)、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的大概位置（就是坐標(biāo)的范圍），但是不能求出其具體位置。所有函數(shù)都有圖像，但并不是所有圖像都有函數(shù)，比如圓的方程，因?yàn)楹瘮?shù)要滿足一一對(duì)應(yīng)性。在解決線性問(wèn)題的時(shí)候，準(zhǔn)確的函數(shù)圖像可能可以直接讓你看出答案。