莫比烏斯帶是什么？

對(duì)于這樣一個(gè)看來(lái)十分簡(jiǎn)單的問(wèn)題，數(shù)百年間，曾有許多科學(xué)家進(jìn)行了認(rèn)真研究，結(jié)果都沒(méi)有成功。后來(lái)，德國(guó)的數(shù)學(xué)家麥比烏斯對(duì)此發(fā)生了濃厚興趣，他長(zhǎng)時(shí)間專(zhuān)心思索、試驗(yàn)，也毫無(wú)結(jié)果。 有一天，他被這個(gè)問(wèn)題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風(fēng)，使他頓時(shí)感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個(gè)尚未找到的圈兒。 一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀(guān)察著。葉子彎取著聳拉下來(lái)，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向?qū)映梢粋€(gè)圓圈兒，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，這“綠色的圓圈兒”就是他夢(mèng)寐以求的那種圈圈。 麥比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉(zhuǎn)180°，再將一端的正面和背面粘在一起，這樣就做成了只有一個(gè)面的紙圈兒。 圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲(chóng)，放在上面讓它爬。結(jié)果，小甲蟲(chóng)不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。麥比烏斯圈激動(dòng)地說(shuō)：“公正的小甲蟲(chóng)，你無(wú)可辯駁地證明了這個(gè)圈兒只有一個(gè)面?！?麥比烏斯圈就這樣被發(fā)現(xiàn)了。
奇妙的麥比烏斯圈
做幾個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“麥比烏斯圈”有許多讓我們驚奇有趣的結(jié)果。 你弄好一個(gè)圈,粘好,繞一圈后可以發(fā)現(xiàn),另一個(gè)面的入口被堵住了,原理就是這樣啊.莫比烏斯帶[1]實(shí)驗(yàn)1
如果在裁好的一張紙條正中間畫(huà)一條線(xiàn)，粘成“麥比烏斯圈”，再沿線(xiàn)剪開(kāi)，把這個(gè)圈一分為二，照理應(yīng)得到兩個(gè)圈兒，奇怪的是，剪開(kāi)后竟是一個(gè)大圈兒。
實(shí)驗(yàn)2
如果在紙條上劃兩條線(xiàn)，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫(huà)線(xiàn)剪開(kāi)，剪刀繞兩個(gè)圈竟然又回到原出發(fā)點(diǎn)，猜一猜，剪開(kāi)后的結(jié)果是什么，是一個(gè)大圈？還是三個(gè)圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動(dòng)手做這個(gè)實(shí)驗(yàn)就知道了。你就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，紙帶不一分為二，一大一小的相扣環(huán)。 有趣的是：新得到的這個(gè)較長(zhǎng)的紙圈，本身卻是一個(gè)雙側(cè)曲面，它的兩條邊界自身雖不打結(jié)，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線(xiàn)剪開(kāi)，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結(jié)罷了。 關(guān)于麥比烏斯圈的單側(cè)性，可如下直觀(guān)地了解，如果給麥比烏斯圈著色，色筆始終沿曲面移動(dòng)，且不越過(guò)它的邊界，最后可把麥比烏斯圈兩面均涂上顏色 ，即區(qū)分不出何是正面，何是反面。對(duì)圓柱面則不同，在一側(cè)著色不通過(guò)邊界不可能對(duì)另一側(cè)也著色。單側(cè)性又稱(chēng)不可定向性。以曲面上除邊緣外的每一點(diǎn)為圓心各畫(huà)一個(gè)小圓，對(duì)每個(gè)小圓周指定一個(gè)方向，稱(chēng)為相伴麥比烏斯圈單側(cè)曲面圓心點(diǎn)的指向，若能使相鄰兩點(diǎn)相伴的指向相同，則稱(chēng)曲面可定向，否則稱(chēng)為不可定向。麥比烏斯圈是不可定向的。 麥比烏斯圈還有著更為奇異的特性。一些在平面上無(wú)法解決的問(wèn)題，卻不可思議地在麥比烏斯圈上獲得了解決。比如在普通空間無(wú)法實(shí)現(xiàn)的“手套易位問(wèn)題”：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質(zhì)的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來(lái)。無(wú)論你怎么扭來(lái)轉(zhuǎn)去，左手套永遠(yuǎn)是左手套，右手套也永遠(yuǎn)是右手套。不過(guò)，倘若你把它搬到麥比烏斯圈上來(lái)，那么解決起來(lái)就易如反掌了。 “手套易位問(wèn)題”告訴我們：堵塞在一個(gè)扭曲了的面上，左、右手系的物體可以通過(guò)扭曲實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換。讓我們展開(kāi)想象的翅膀，設(shè)想我們的空間在宇宙的某個(gè)邊緣，呈現(xiàn)出麥比烏斯圈式的彎曲。那么，有朝一日，我們的星際宇航員會(huì)帶著左胸腔的心臟出發(fā)，卻帶著右胸腔的心臟返回地球呢！瞧，麥比烏斯圈是多么的神奇！但是，麥比烏斯圈具有一條非常明顯的邊界。這似乎是一種美中不足。公元1882年，另一位德國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)力克斯?克萊茵（Felix Klein，1849～1925），終于找到了一種自我封閉而沒(méi)有明顯邊界的模型，后來(lái)以他的名字命名為“克萊因瓶”。這種怪瓶實(shí)際上可以看作是由一對(duì)麥比烏斯圈，沿邊界粘合而成。 “麥比烏斯帶”有點(diǎn)神秘，一時(shí)又派 不上用場(chǎng)，但是人們還是根據(jù)它的特性編出了一些故事，據(jù)說(shuō)有一個(gè)小偷偷了一位很老實(shí)農(nóng)民的東西，并被當(dāng)場(chǎng)捕獲，將小偷送到縣衙，縣官發(fā)現(xiàn)小偷正是自己的兒子。于是在一張紙條的正面寫(xiě)上：小偷應(yīng)當(dāng)放掉，而在紙的反面寫(xiě)了：農(nóng)民應(yīng)當(dāng)關(guān)押?？h官將紙條交給執(zhí)事官由他去辦理。聰明的執(zhí)事官將紙條扭了個(gè)彎，用手指將兩端捏在一起。然后向大家宣布：根據(jù)縣太爺?shù)拿罘诺艮r(nóng)民，關(guān)押小偷?？h官聽(tīng)了大怒，責(zé)問(wèn)執(zhí)事官。執(zhí)事官將紙條捏在手上給縣官看，從“應(yīng)當(dāng)”二字讀起，確實(shí)沒(méi)錯(cuò)。仔細(xì)觀(guān)看字跡，也沒(méi)有涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認(rèn)倒霉。 縣官知道執(zhí)事官在紙條上做了手腳，懷恨在心，伺機(jī)報(bào)復(fù)。一日，又拿了一張紙條，要執(zhí)事官一筆將正反兩面涂黑，否則就要將其拘役。執(zhí)事官不慌不忙地把紙條扭了一下，粘住兩端，提筆在紙環(huán)上一劃，又拆開(kāi)兩端，只見(jiàn)紙條正反面均涂上黑色。縣官的毒計(jì)又落空了。 現(xiàn)實(shí)可能根本不會(huì)發(fā)生這樣的故事，但是這個(gè)故事卻很好地反映出“莫比烏斯帶”的特點(diǎn)。