等差等比數列(等差數列,等比數列的基本知識)

1.等差數列,等比數列的基本知識

等差數列 如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。

通項公式 等差數列的通項公式為：an=a1+(n-1)d (1) 前n項和公式 前n項和公式為：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2) 以上n均屬于正整數。 推論 1.從（1）式可以看出，an是n的一次函數（d≠0）或常數函數（d=0）,(n,an)排在一條直線上，由（2）式知，Sn是n的二次函數（d≠0）或一次函數（d=0,a1≠0），且常數項為0。

2. 從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2，…，n} 3.若m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數列，等等。 4.其他推論 和=（首項+末項）*項數÷2 項數=（末項-首項）÷公差+1 首項=2和÷項數-末項 末項=2和÷項數-首項 末項=首項+（項數-1）*公差 等差中項 在等差數列中，等差中項：一般設為Ar,Am+An=2Ar，所以Ar為Am,An的等差中項，且為數列的平均數。

且任意兩項am,an的關系為：an=am+(n-m)d 它可以看作等差數列廣義的通項公式。 [編輯本段]二、等差數列的應用： 日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別 時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。

若為等差數列，且有an=m,am=n.則a(m+n)=0。 其實，中國古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經》提到等差數列了： 今有女子不善織布，逐日所織的布以同數遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織幾何？ 書中的解法是：并初、末日織布數，半之，余以乘織訖日數，即得。

這相當于給出了Sn=(a1+an)/2*n的求和公式 [編輯本段]三、等差數列的基本性質 ⑴公差為d的等差數列，各項同加一數所得數列仍是等差數列，其公差仍為d. ⑵公差為d的等差數列，各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列，其公差為kd. ⑶若、為等差數列，則{ a ±b }與{ka +b}(k、b為非零常數)也是等差數列. ⑷對任何m、n ，在等差數列中有：a = a + (n-m)d，特別地，當m = 1時，便得等差數列的通項公式，此式較等差數列的通項公式更具有一般性. ⑸、一般地，如果l,k,p，…，m,n,r，…皆為自然數，且l + k + p + … = m + n + r + … （兩邊的自然數個數相等），那么當為等差數列時，有：a + a + a + … = a + a + a + … . ⑹公差為d的等差數列，從中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是等差數列，其公差為kd( k為取出項數之差). ⑺如果是等差數列，公差為d，那么，a ,a ，…，a 、a 也是等差數列，其公差為-d；在等差數列中，a -a = a -a = md .（其中m、k、） ⑻在等差數列中，從第一項起，每一項（有窮數列末項除外）都是它前后兩項的等差中項. ⑼當公差d>0時，等差數列中的數隨項數的增大而增大；當d ⑽設a 1,a 2,a 3為等差數列中的三項，且a1 與a2 ,a 2與a 3的項距差之比 = d( d≠-1)，則2a2 = a1+a3. [編輯本段]四、等差數列前n項和公式S 的基本性質 ⑴數列為等差數列的充要條件是：數列的前n項和S 可以寫成S = an + bn的形式（其中a、b為常數）. ⑵在等差數列中，當項數為2n (n N )時，S -S = nd， = ；當項數為（2n-1） (n )時，S -S = a ， = . ⑶若數列為等差數列，則S ,S -S ,S -S ，…仍然成等差數列，公差為 . ⑷若兩個等差數列、的前n項和分別是S 、T (n為奇數)，則 = . ⑸在等差數列中，S = a,S = b (n>m)，則S = (a-b). ⑹等差數列中， 是n的一次函數，且點（n， ）均在直線y = x + (a - )上. ⑺記等差數列的前n項和為S .①若a >0，公差d0，則當a ≤0且a ≥0時，S 最小. 等比數列 簡介與公式 如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

(1)等比數列的通項公式是：An=A1*q^(n-1) 若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*)，當q>0時，則可把an看作自變量n的函數，點（n,an）是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。 （2）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n （ 即A-Aq^n） （前提：q≠ 1） 任意兩項am,an的關系為an=am·q^(n-m) (3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2，…，n} (4)等比中項：aq·ap=ar^2,ar則為ap,aq等比中項。

記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數后構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。

（5）無窮遞縮等比數列各項和公式： 無窮遞縮等比數列各項和公式：對于等比數列 的前n 項和，當n 無限增大時的極限，叫做這個無窮遞縮數列的各項和。 [編輯本段]性質 ①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am*an=ap*aq； ②在等比數列中，依次每 k項。

2.等比等差數列講解,要系統(tǒng),且性質要詳細,方法歸納詳細,盡量拓展

等差數列與等比數列 基礎知識 1.數列的概念 定義1. 按照某一法則，給定了第1個數，第2個數，………，對于正整數有一個確定的數，于是得到一列有次序的數我們稱它為數列，用符號表示。

數列中的每項稱為數列的項，第項稱為數列的一般項，又稱為數列的通項。 定義2.當一個數列的項數為有限個時，稱這個數列為有限數列；當一個數列的項數為無限時，則稱這個數列為無限數列。

定義3.對于一個數列，如果從第2項起，每一項都不小于它的前一項，即，這樣的數列稱為遞增數列；如果從第2項起，每一項都不大于它的前一項，即，這樣的數列稱為遞減數列。 定義4.如果數列的每一項的絕對值都小于某一個正數，即，其中是某一個正數，則稱這樣的數列為有界數列，否則就稱為是無界數列。

定義5.如果在數列中，項數與具有如下的函數關系：，則稱這個關系為數列的通項公式。 2.等差數列 定義6.一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做公差，常用字母表示。

等差數列具有以下幾種性質： （1）等差數列的通項公式：或； （2）等差數列的前項和公式：或； （3）公差非零的等差數列的通項公式為的一次函數； （4）公差非零的等差數列的前項和公式是關于不含有常數項的二次函數； （5）設是等差數列，則（是常數）是公差為的等差數列； （6）設，是等差數列，則（是常數）也是等差數列； （7）設，是等差數列，且，則也是等差數列（即等差數列中等距離分離出的子數列仍為等差數列）； （8）若，則；特別地，當時，； （9）設，，，則有； （10）對于項數為的等差數列，記分別表示前項中的奇數項的和與偶數項的和，則，； （11）對于項數為的等差數列，有，； （12）是等差數列的前項和，則； （13）其他衍生等差數列：若已知等差數列，公差為，前項和為，則 ①.為等差數列，公差為； ②.（即）為等差數列，公差； ③.（即）為等差數列，公差為. 3.等比數列 定義7.一般地，如果有一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于現中一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做公比；公比通常用字母表示（），即。 等比數列具有以下性質： （1）等比數列的通項公式：或； （2）等比數列的前項和公式：； （3）等比中項：； （4）無窮遞縮等比數列各項公式：對于等比數列的前項和，當無限增大時的極限，叫做這個無窮遞縮數列的各項的和，記為，即； （5）設是等比數列，則（是常數），仍成等比數列； （6）設，是等比數列，則也是等比數列； （7）設是等比數列，是等差數列，且則也是等比數列（即等比數列中等距離分離出的子數列仍為等比數列）； （8）設是正項等比數列，則是等差數列； （9）若，則；特別地，當時，； （10）設，，，則有； （11）其他衍生等比數列：若已知等比數列，公比為，前項和為，則 ①.為等比數列，公比為； ②.（即）為等比數列，公比為； 典例分析 例1.設等差數列的首項與公差均為非負整數，項數不小于3，且各項之和為972，則這樣的數列有_____________個。

解：設等差數列的首項為，公差為。由已知有，即。

又因為，所以只可能取，又因為且均為整數，故； 若，由于為正數，則，即，故，這時有或； 若，則，這時有或。

3.求高一數學等差和等比數列的知識對比列表

等差數列，等比數列的通項公式分別為an=a1+(n-1)d,an=a1*q^(n-1) 二、基本公式： 9、一般數列的通項an與前n項和Sn的關系：an= 10、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d （其中a1為首項、ak為已知的第k項） 當d≠0時，an是關于n的一次式；當d=0時，an是一個常數。

11、等差數列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn= 當d≠0時，Sn是關于n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0）,Sn=na1是關于n的正比例式。 12、等比數列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k （其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0） 13、等比數列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n a1 （是關于n的正比例式）； 當q≠1時，Sn= Sn= 三、有關等差、等比數列的結論 14、等差數列{an}的任意連續(xù)m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數列。

15、等差數列{an}中，若m+n=p+q，則 16、等比數列{an}中，若m+n=p+q，則 17、等比數列{an}的任意連續(xù)m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數列。 18、兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數列。

19、兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數組成的數列 {an bn}、、仍為等比數列。 20、等差數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。

21、等比數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。 22、三個數成等差的設法：a-d,a,a+d；四個數成等差的設法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三個數成等比的設法：a/q,a,aq； 四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3 （為什么？） 24、{an}為等差數列，則 （c>0）是等比數列。

25、{bn}(bn>0)是等比數列，則{logcbn} (c>0且c 1) 是等差數列。 26. 在等差數列 中： （1）若項數為 ，則 （2）若數為 則， ， 27. 在等比數列 中： （1） 若項數為 ，則 （2）若數為 則， 四、數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。

關鍵是找數列的通項結構。 28、分組法求數列的和：如an=2n+3n 29、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂項法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求數列{an}的最大、最小項的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② （an>0） 如an= ③ an=f(n) 研究函數f(n)的增減性 如an= 33、在等差數列 中，有關Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解： （1）當 >0,d<0時，滿足 的項數m使得 取最大值. （2）當 0時，滿足 的項數m使得 取最小值。

在解含絕對值的數列最值問題時，注意轉化思想的應用。 裂項法求和 例題 1/1*4+1/4*7+1/7*10。

1/(3n-2)(3n+1) 怎么解這種不是n(n+1)的裂項法阿？ 解答 1/(3n-2)(3n+1) 1/(3n-2)-1/(3n+1)=3/(3n-2)(3n+1) 只要是分式數列求和，可采用裂項法 裂項的方法是用分母中較小因式的倒數減去較大因式的倒數，通分后與原通項公式相比較就可以得到所需要的常數 高三新數學（5）——數列 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=173613 高考數學第一輪復習單元試卷7-數列的求和 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=168353 高考數學第一輪復習單元試卷6-等差數列與等比數列 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=168352 高三數學第二輪專題（二）（數列、極限、數學歸納法） /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167870 高三數學第二輪課堂選擇、填空專項訓練（數列） /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167866 2006年全國各地高考試題分類解析（數列） /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167838 高考數學模擬新題集錦：第三部分 數列 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167747 高考數學第一輪總復習同步練習---數列作業(yè) /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167717 高考數學第一輪總復習同步練習---數列與函數的極限 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167716 高考數學第一輪總復習同步練習---數列的通項 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167712 高考數學第一輪總復習同步練習---數列的應用 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167714 高考數學第一輪總復習同步練習---數列的綜合應用 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167715 高考數學第一輪總復習同步練習---數列的前n項和 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167711 高考數學第一輪總復習同步練習---數列的概念 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167710 高考數學第一輪總復習同步練習---第三章數列參考答案 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167662 高考數學第一輪總復習同步練習---等差數學列和等比數列（2） /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167660 高考數學第一輪總復習同步練習---等差數列和等比數列（3） /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167661 高考數學第一輪總復習同步練習---等差數列和等比數列（1） http://bbs.topsage。.。

4.等比數列的一些知識

一般地，如果有一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于現中一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做公比；公比通常用字母表示（），即。

等比數列具有以下性質：

(1)等比數列的通項公式：或；

(2)等比數列的前項和公式：；

(3)等比中項：；

(4)無窮遞縮等比數列各項公式：對于等比數列的前項和，當無限增大時的極限，叫做這個無窮遞縮數列的各項的和，記為，即；

(5)設是等比數列，則（是常數），仍成等比數列；

(6)設，是等比數列，則也是等比數列；

(7)設是等比數列，是等差數列，且則也是等比數列（即等比數列中等距離分離出的子數列仍為等比數列）；

(8)設是正項等比數列，則是等差數列；

(9)若，則；特別地，當時，；

(10)設，，，則有；

(11)其他衍生等比數列：若已知等比數列，公比為，前項和為，則

①.為等比數列，公比為；

②.（即）為等比數列，公比為；