判別可微方法(判斷可微的常用方法)
1.判斷可微的常用方法
1、若函數(shù)在某點(diǎn)可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)；
2、若二元函數(shù)在某點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在該點(diǎn)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)必存在。
3、若函數(shù)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)在這點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)都存在，且均在這點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在這點(diǎn)可微。
設(shè)函數(shù)y= f(x)，若自變量在點(diǎn)x的改變量Δx與函數(shù)相應(yīng)的改變量Δy有關(guān)系Δy=A*Δx+ο（Δx），其中A與Δx無(wú)關(guān)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x可微，并稱(chēng)AΔx為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的微分，記作dy，即dy=A*Δx，當(dāng)x= x0時(shí)，則記作dy∣x=x0。
擴(kuò)展資料
魏爾斯特拉斯函數(shù)連續(xù)，但在任一點(diǎn)都不可微。
若?在X0點(diǎn)可微，則?在該點(diǎn)必連續(xù)。特別的，所有可微函數(shù)在其定義域內(nèi)任一點(diǎn)必連續(xù)。逆命題則不成立：一個(gè)連續(xù)函數(shù)未必可微。比如，一個(gè)有折點(diǎn)、尖點(diǎn)或垂直切線的函數(shù)可能是連續(xù)的，但在異常點(diǎn)不可微。
實(shí)踐中運(yùn)用的函數(shù)大多在所有點(diǎn)可微，或幾乎處處可微。但斯特凡·巴拿赫聲稱(chēng)可微函數(shù)在所有函數(shù)構(gòu)成的集合中卻是少數(shù)。這表示可微函數(shù)在連續(xù)函數(shù)中不具代表性。人們發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)是魏爾斯特拉斯函數(shù)。
參考資料來(lái)源：百度百科-可微函數(shù)
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2.怎樣判斷函數(shù)是否可微
1、函數(shù)可微的必要條件
若函數(shù)在某點(diǎn)可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)；
若二元函數(shù)在某點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在該點(diǎn)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)必存在。
2、函數(shù)可微的充分條件
若函數(shù)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)在這點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)都存在，且均在這點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在這點(diǎn)可微。
擴(kuò)展資料：
1、可微的幾何意義就是曲面被平面所截所得點(diǎn)處切線的斜率。
2、若?在X0點(diǎn)可微，則?在該點(diǎn)必連續(xù)。特別的，所有可微函數(shù)在其定義域內(nèi)任一點(diǎn)必連續(xù)。逆命題則不成立：一個(gè)連續(xù)函數(shù)未必可微。比如，一個(gè)有折點(diǎn)、尖點(diǎn)或垂直切線的函數(shù)可能是連續(xù)的，但在異常點(diǎn)不可微。
3、實(shí)踐中運(yùn)用的函數(shù)大多在所有點(diǎn)可微，或幾乎處處可微。但斯特凡·巴拿赫聲稱(chēng)可微函數(shù)在所有函數(shù)構(gòu)成的集合中卻是少數(shù)。這表示可微函數(shù)在連續(xù)函數(shù)中不具代表性。人們發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)是魏爾斯特拉斯函數(shù)。
參考資料來(lái)源：搜狗百科-可微
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3.函數(shù)可微的判斷
一、可以用可微的相關(guān)知識(shí)去判斷，但是如果題目不是要證明是否可微，對(duì)于某些不可微的函數(shù)是可以一眼就看出來(lái)的，而不用證明。
函數(shù)可微的直觀幾何解釋是函數(shù)圖象在該點(diǎn)是“光滑”的，即函數(shù)圖象不能是“尖點(diǎn)”，回憶一元函數(shù)y=|x|在x=0點(diǎn)的圖象是一個(gè)尖點(diǎn)，故這個(gè)函數(shù)在x=0處不可微。本題中二元函數(shù)的圖象是一個(gè)錐體，而（0,0）點(diǎn)對(duì)應(yīng)的z是這個(gè)錐體的頂點(diǎn)，它是一個(gè)"尖點(diǎn)"，所以在該點(diǎn)不可微。
二、按定義，f(x,y)在（0,0）點(diǎn)可微就是要求lim[f(x,y)-f(0,0)-Ax-By]/√（x^2+y^2）=0(A,B是常數(shù))，本題中這個(gè)極限表達(dá)式為lim[1-√（x^2+y^2）-1-Ax-By]/√（x^2+y^2）=1-lim(Ax+By)/√（x^2+y^2），令y=kx,
則lim(Ax+By)/√（x^2+y^2）=(A+Bk)/√（1+k^2），極限與k有關(guān)，故這個(gè)極限不存在，因此極限lim[1-√（x^2+y^2）-1-Ax-By]/√（x^2+y^2）也就不存在，故在原點(diǎn)不可微。
擴(kuò)展資料：
魏爾斯特拉斯函數(shù)連續(xù)，但在任一點(diǎn)都不可微。
若?在X0點(diǎn)可微，則?在該點(diǎn)必連續(xù)。特別的，所有可微函數(shù)在其定義域內(nèi)任一點(diǎn)必連續(xù)。逆命題則不成立：一個(gè)連續(xù)函數(shù)未必可微。比如，一個(gè)有折點(diǎn)、尖點(diǎn)或垂直切線的函數(shù)可能是連續(xù)的，但在異常點(diǎn)不可微。
實(shí)踐中運(yùn)用的函數(shù)大多在所有點(diǎn)可微，或幾乎處處可微。但斯特凡·巴拿赫聲稱(chēng)可微函數(shù)在所有函數(shù)構(gòu)成的集合中卻是少數(shù)。這表示可微函數(shù)在連續(xù)函數(shù)中不具代表性。人們發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)是魏爾斯特拉斯函數(shù)。
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4.如何判斷一個(gè)函數(shù)是否可微
極限的概念是整個(gè)微積分的基礎(chǔ)，需要深刻地理解，由極限的概念才能引出連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等概念。
極限的概念首先是從數(shù)列的極限引出的。對(duì)于任意小的正數(shù)e，如果存在自然數(shù)m，使所有n》m時(shí)，|a(n)-a|都小于e，則數(shù)列的極限為a。
極限不是相等，而是無(wú)限接近。而函數(shù)的極限是指在x0的一個(gè)臨域內(nèi)（不包含x0這一點(diǎn)），如果對(duì)于任意小的正數(shù)e，都存在正數(shù)q，使所有（x0-q,x0+q）內(nèi)的點(diǎn)，都滿足|f(x)-a|《e，則f(x)在x0點(diǎn)的極限為a。
很多求極限的題目都可以用極限的定義直接求出。 例如f(x)=(x^2-3x+2)/(x-2), x=2不在函數(shù)定義域內(nèi)，但對(duì)于任何x不等于2,f(x)=x-1，因此在x無(wú)限接近2，但不等于2時(shí)，f(x)無(wú)限接近1，因此f(x)在2處的極限為1。
連續(xù)的概念。如果函數(shù)在x0的極限存在，函數(shù)在x0有定義，而且極限值等于函數(shù)值，則稱(chēng)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)。
以上的三個(gè)條件缺一不可。 在上例中，f(x)在x=2時(shí)極限存在，但在x=2這一點(diǎn)沒(méi)有定義，所以函數(shù)在x=2不連續(xù)； 如果我們定義f(2)=1，補(bǔ)上“缺口”，則函數(shù)在x=2變成連續(xù)的； 如果我們定義f(2)=3，雖然函數(shù)在x=2時(shí)，極限值和函數(shù)值都存在，但不相等，那么函數(shù)在x=2還是不連續(xù)。
由連續(xù)又引出了左極限、右極限和左連續(xù)、右連續(xù)的概念。函數(shù)值等于左極限為左連續(xù)，函數(shù)值等于右極限為右連續(xù)。
如果函數(shù)在x0點(diǎn)左右極限都存在，且都等于函數(shù)值，則函數(shù)在x=x0時(shí)連續(xù)。這個(gè)定義是解決分段函數(shù)連續(xù)問(wèn)題的最重要的、幾乎是唯一的方法。
如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，在區(qū)間的左右端點(diǎn)分別左右連續(xù)（對(duì)閉區(qū)間而言），則稱(chēng)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上連續(xù)。 導(dǎo)數(shù)的概念。
導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的變化率，直觀地看是指切線的斜率。略有不同的是，切線可以平行于y軸，此時(shí)斜率為無(wú)窮大，因此導(dǎo)數(shù)不存在，但切線存在。
導(dǎo)數(shù)的求法也是一個(gè)極限的求法。對(duì)于x=x0，在x0附近另找一點(diǎn)x1，求x0與x1連線的斜率。
當(dāng)x1無(wú)限靠近x0，但不與x0重合時(shí)，這兩點(diǎn)連線的斜率，就是f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)。關(guān)于導(dǎo)數(shù)的題目多數(shù)可用導(dǎo)數(shù)的定義直接解決。
教科書(shū)中給出了所有基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，如果自己能用導(dǎo)數(shù)的定義都推導(dǎo)一遍，理解和記憶會(huì)更深刻。其中對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)中用到了重要極限：limx-->0 (1+x)^(1/x)=e。
導(dǎo)數(shù)同樣分為左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)存在的條件是：f(x)在x=x0連續(xù)，左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。
這個(gè)定義是解決分段函數(shù)可導(dǎo)問(wèn)題的最重要的、幾乎是唯一的方法。 如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，在區(qū)間的左右端點(diǎn)分別左右導(dǎo)數(shù)存在（對(duì)閉區(qū)間而言），則稱(chēng)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上可導(dǎo)。
復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如f[u(x)]，是集合a中的自變量x，產(chǎn)生微小變化dx，引起集合b中對(duì)應(yīng)數(shù)u的微小變化du,u的變化又引起集合c中的對(duì)應(yīng)數(shù)f(u)的變化，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'[u(x)]=df(u)/dx=df(u)/du * du/dx=f'(u)*u'(x) 導(dǎo)數(shù)在生活中的例子最常見(jiàn)的是距離與時(shí)間的關(guān)系。物體在極其微小的時(shí)間內(nèi)，移動(dòng)了極其微小的距離，二者的比值就是物體在這一刻的速度。
對(duì)于自由落體運(yùn)動(dòng)，下落距離s=1/2gt^2，則物體在時(shí)間t0的速度為v(t0)=[s(t0+a)-s(t0)]/a， 當(dāng)a趨近于0時(shí)的值，等于gt0； 而速度隨時(shí)間的增加而增加，變化的比率g稱(chēng)為加速度。加速度是距離對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。
從直觀上看，可導(dǎo)意味著光滑的、沒(méi)有尖角，因?yàn)樵诩饨翘幾笥覍?dǎo)數(shù)不相等。有笑話說(shuō)一位教授對(duì)學(xué)生抱怨道：“這飯館讓人怎么吃飯？你看這碗口，處處不可導(dǎo)！” 積分的概念。
從面積上理解，積分就是積少成多，把無(wú)限個(gè)面積趨近于0的線條，累積在一起，就成為大于0的面積。我們可以把一塊圖形分割為狹長(zhǎng)的長(zhǎng)方形（長(zhǎng)方形的高度都取函數(shù)在左端或右端的函數(shù)值），分別計(jì)算各個(gè)長(zhǎng)方形的面積再加總，可近似地得出圖形的面積。
當(dāng)我們把長(zhǎng)方形的寬度設(shè)定得越來(lái)越窄，計(jì)算結(jié)果就越來(lái)越精確，與圖形實(shí)際面積的差距越來(lái)越小。如果函數(shù)的積分存在，則長(zhǎng)方形寬度趨近于0時(shí)，求出的長(zhǎng)方形面積總和的極限存在，且等于圖形的實(shí)際面積。
這里又是一個(gè)極限的概念。 如果函數(shù)存在不連續(xù)的點(diǎn)，但在該點(diǎn)左右極限都存在，函數(shù)仍是可積的。
只要間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的，則它們代表的線條面積總和為0，不影響計(jì)算結(jié)果。 在廣義積分中，允許函數(shù)在無(wú)限區(qū)間內(nèi)積分，或某些點(diǎn)的函數(shù)值趨向無(wú)窮大，只要積分的極限存在，函數(shù)都是可積的。
嚴(yán)格地說(shuō)，我們只會(huì)計(jì)算長(zhǎng)方形的面積。從我們介紹的積分的求法看，我們實(shí)際上是把求面積化為了數(shù)列求和的問(wèn)題，即求數(shù)列的前n項(xiàng)和s(n)，在n趨近于無(wú)窮大時(shí)的極限。
很多時(shí)候，求積分和求無(wú)限數(shù)列的和是可以相互轉(zhuǎn)換的。當(dāng)我們深刻地理解了積分的定義和熟練地掌握了積分公式之后，我們同樣可用它來(lái)解決相當(dāng)棘手的數(shù)列求和問(wèn)題。
例如：求lim na正無(wú)窮大時(shí)，1/n*[1+1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+。
+1/(1+(n-1)/n)+1/2]的值。
看似無(wú)從下手，可當(dāng)我們把它轉(zhuǎn)化為一連串的小長(zhǎng)方形的面積之后，不禁會(huì)恍然大悟：這不是f(x)=1/x在[1,2]上的積分嗎？從而輕松得出結(jié)果為ln2。 除了基本的積分公式外，換元法和分步法是常用的積分方法。
換元積分法的實(shí)質(zhì)是把原函數(shù)化為形式簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)；分步積分法的要領(lǐng)是：在∫udv=uv-∫vdu中，。
5.怎樣判斷函數(shù)是否可微
一、函數(shù)可微的判斷
1、函數(shù)可微的必要條件
若函數(shù)在某點(diǎn)可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)；
若二元函數(shù)在某點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在該點(diǎn)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)必存在。
2、函數(shù)可微的充分條件
若函數(shù)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)在這點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)都存在，且均在這點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在這點(diǎn)可微。
二、多元函數(shù)可微的條件
多元函數(shù)可微的充分必要條件是f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在。
擴(kuò)展資料：
微分的推導(dǎo)
設(shè)函數(shù)y = f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量Δy = f(x0 + Δx) ? f(x0)可表示為Δy = AΔx + o（Δx），其中A是不依賴(lài)于△x的常數(shù)， o（Δx）是△x的高階無(wú)窮小，則稱(chēng)函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)x0是可微的。
AΔx叫做函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自變量改變量△x的線性函數(shù)，dy與△y的差是關(guān)于△x的高階無(wú)窮小量，我們把dy稱(chēng)作△y的線性主部。
得出： 當(dāng)△x→0時(shí)，△y≈dy。
導(dǎo)數(shù)的記號(hào)為：（dy）/(dx)=f′（X），我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號(hào)，而且還可以表示兩個(gè)微分的比值（把△x看成dx，即：定義自變量的增量等于自變量的微分），還可表示為dy=f′（X）dX。
參考資料來(lái)源：百度百科-可微性
