1、若函數(shù)在某點可微分,則函數(shù)在該點必連續(xù);
2、若二元函數(shù)在某點可微分,則該函數(shù)在該點對x和y的偏導數(shù)必存在。
3、若函數(shù)對x和y的偏導數(shù)在這點的某一鄰域內(nèi)都存在,且均在這點連續(xù),則該函數(shù)在這點可微。
設函數(shù)y= f(x),若自變量在點x的改變量Δx與函數(shù)相應的改變量Δy有關系Δy=A*Δx+ο(Δx),其中A與Δx無關,則稱函數(shù)f(x)在點x可微,并稱AΔx為函數(shù)f(x)在點x的微分,記作dy,即dy=A*Δx,當x= x0時,則記作dy∣x=x0。
擴展資料
魏爾斯特拉斯函數(shù)連續(xù),但在任一點都不可微。
若?在X0點可微,則?在該點必連續(xù)。特別的,所有可微函數(shù)在其定義域內(nèi)任一點必連續(xù)。逆命題則不成立:一個連續(xù)函數(shù)未必可微。比如,一個有折點、尖點或垂直切線的函數(shù)可能是連續(xù)的,但在異常點不可微。
實踐中運用的函數(shù)大多在所有點可微,或幾乎處處可微。但斯特凡·巴拿赫聲稱可微函數(shù)在所有函數(shù)構成的集合中卻是少數(shù)。這表示可微函數(shù)在連續(xù)函數(shù)中不具代表性。人們發(fā)現(xiàn)的第一個處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)是魏爾斯特拉斯函數(shù)。
參考資料來源:百度百科-可微函數(shù)
參考資料來源:百度百科-可微
1、函數(shù)可微的必要條件
若函數(shù)在某點可微分,則函數(shù)在該點必連續(xù);
若二元函數(shù)在某點可微分,則該函數(shù)在該點對x和y的偏導數(shù)必存在。
2、函數(shù)可微的充分條件
若函數(shù)對x和y的偏導數(shù)在這點的某一鄰域內(nèi)都存在,且均在這點連續(xù),則該函數(shù)在這點可微。
擴展資料:
1、可微的幾何意義就是曲面被平面所截所得點處切線的斜率。
2、若?在X0點可微,則?在該點必連續(xù)。特別的,所有可微函數(shù)在其定義域內(nèi)任一點必連續(xù)。逆命題則不成立:一個連續(xù)函數(shù)未必可微。比如,一個有折點、尖點或垂直切線的函數(shù)可能是連續(xù)的,但在異常點不可微。
3、實踐中運用的函數(shù)大多在所有點可微,或幾乎處處可微。但斯特凡·巴拿赫聲稱可微函數(shù)在所有函數(shù)構成的集合中卻是少數(shù)。這表示可微函數(shù)在連續(xù)函數(shù)中不具代表性。人們發(fā)現(xiàn)的第一個處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)是魏爾斯特拉斯函數(shù)。
參考資料來源:搜狗百科-可微
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一、可以用可微的相關知識去判斷,但是如果題目不是要證明是否可微,對于某些不可微的函數(shù)是可以一眼就看出來的,而不用證明。
函數(shù)可微的直觀幾何解釋是函數(shù)圖象在該點是“光滑”的,即函數(shù)圖象不能是“尖點”,回憶一元函數(shù)y=|x|在x=0點的圖象是一個尖點,故這個函數(shù)在x=0處不可微。本題中二元函數(shù)的圖象是一個錐體,而(0,0)點對應的z是這個錐體的頂點,它是一個"尖點",所以在該點不可微。
二、按定義,f(x,y)在(0,0)點可微就是要求lim[f(x,y)-f(0,0)-Ax-By]/√(x^2+y^2)=0(A,B是常數(shù)),本題中這個極限表達式為lim[1-√(x^2+y^2)-1-Ax-By]/√(x^2+y^2)=1-lim(Ax+By)/√(x^2+y^2),令y=kx,
則lim(Ax+By)/√(x^2+y^2)=(A+Bk)/√(1+k^2),極限與k有關,故這個極限不存在,因此極限lim[1-√(x^2+y^2)-1-Ax-By]/√(x^2+y^2)也就不存在,故在原點不可微。
擴展資料:
魏爾斯特拉斯函數(shù)連續(xù),但在任一點都不可微。
若?在X0點可微,則?在該點必連續(xù)。特別的,所有可微函數(shù)在其定義域內(nèi)任一點必連續(xù)。逆命題則不成立:一個連續(xù)函數(shù)未必可微。比如,一個有折點、尖點或垂直切線的函數(shù)可能是連續(xù)的,但在異常點不可微。
實踐中運用的函數(shù)大多在所有點可微,或幾乎處處可微。但斯特凡·巴拿赫聲稱可微函數(shù)在所有函數(shù)構成的集合中卻是少數(shù)。這表示可微函數(shù)在連續(xù)函數(shù)中不具代表性。人們發(fā)現(xiàn)的第一個處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)是魏爾斯特拉斯函數(shù)。
參考資料來源:百度百科-可微函數(shù)
極限的概念是整個微積分的基礎,需要深刻地理解,由極限的概念才能引出連續(xù)、導數(shù)、積分等概念。
極限的概念首先是從數(shù)列的極限引出的。對于任意小的正數(shù)e,如果存在自然數(shù)m,使所有n》m時,|a(n)-a|都小于e,則數(shù)列的極限為a。
極限不是相等,而是無限接近。而函數(shù)的極限是指在x0的一個臨域內(nèi)(不包含x0這一點),如果對于任意小的正數(shù)e,都存在正數(shù)q,使所有(x0-q,x0+q)內(nèi)的點,都滿足|f(x)-a|《e,則f(x)在x0點的極限為a。
很多求極限的題目都可以用極限的定義直接求出。 例如f(x)=(x^2-3x+2)/(x-2), x=2不在函數(shù)定義域內(nèi),但對于任何x不等于2,f(x)=x-1,因此在x無限接近2,但不等于2時,f(x)無限接近1,因此f(x)在2處的極限為1。
連續(xù)的概念。如果函數(shù)在x0的極限存在,函數(shù)在x0有定義,而且極限值等于函數(shù)值,則稱f(x)在x0點連續(xù)。
以上的三個條件缺一不可。 在上例中,f(x)在x=2時極限存在,但在x=2這一點沒有定義,所以函數(shù)在x=2不連續(xù); 如果我們定義f(2)=1,補上“缺口”,則函數(shù)在x=2變成連續(xù)的; 如果我們定義f(2)=3,雖然函數(shù)在x=2時,極限值和函數(shù)值都存在,但不相等,那么函數(shù)在x=2還是不連續(xù)。
由連續(xù)又引出了左極限、右極限和左連續(xù)、右連續(xù)的概念。函數(shù)值等于左極限為左連續(xù),函數(shù)值等于右極限為右連續(xù)。
如果函數(shù)在x0點左右極限都存在,且都等于函數(shù)值,則函數(shù)在x=x0時連續(xù)。這個定義是解決分段函數(shù)連續(xù)問題的最重要的、幾乎是唯一的方法。
如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù),在區(qū)間的左右端點分別左右連續(xù)(對閉區(qū)間而言),則稱函數(shù)在這個區(qū)間上連續(xù)。 導數(shù)的概念。
導數(shù)是函數(shù)的變化率,直觀地看是指切線的斜率。略有不同的是,切線可以平行于y軸,此時斜率為無窮大,因此導數(shù)不存在,但切線存在。
導數(shù)的求法也是一個極限的求法。對于x=x0,在x0附近另找一點x1,求x0與x1連線的斜率。
當x1無限靠近x0,但不與x0重合時,這兩點連線的斜率,就是f(x)在x=x0處的導數(shù)。關于導數(shù)的題目多數(shù)可用導數(shù)的定義直接解決。
教科書中給出了所有基本函數(shù)的導數(shù)公式,如果自己能用導數(shù)的定義都推導一遍,理解和記憶會更深刻。其中對數(shù)的導數(shù)公式推導中用到了重要極限:limx-->0 (1+x)^(1/x)=e。
導數(shù)同樣分為左導數(shù)和右導數(shù)。導數(shù)存在的條件是:f(x)在x=x0連續(xù),左右導數(shù)存在且相等。
這個定義是解決分段函數(shù)可導問題的最重要的、幾乎是唯一的方法。 如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)每一點都可導,在區(qū)間的左右端點分別左右導數(shù)存在(對閉區(qū)間而言),則稱函數(shù)在這個區(qū)間上可導。
復合函數(shù)的導數(shù),例如f[u(x)],是集合a中的自變量x,產(chǎn)生微小變化dx,引起集合b中對應數(shù)u的微小變化du,u的變化又引起集合c中的對應數(shù)f(u)的變化,則復合函數(shù)的導函數(shù)f'[u(x)]=df(u)/dx=df(u)/du * du/dx=f'(u)*u'(x) 導數(shù)在生活中的例子最常見的是距離與時間的關系。物體在極其微小的時間內(nèi),移動了極其微小的距離,二者的比值就是物體在這一刻的速度。
對于自由落體運動,下落距離s=1/2gt^2,則物體在時間t0的速度為v(t0)=[s(t0+a)-s(t0)]/a, 當a趨近于0時的值,等于gt0; 而速度隨時間的增加而增加,變化的比率g稱為加速度。加速度是距離對時間的二階導數(shù)。
從直觀上看,可導意味著光滑的、沒有尖角,因為在尖角處左右導數(shù)不相等。有笑話說一位教授對學生抱怨道:“這飯館讓人怎么吃飯?你看這碗口,處處不可導!” 積分的概念。
從面積上理解,積分就是積少成多,把無限個面積趨近于0的線條,累積在一起,就成為大于0的面積。我們可以把一塊圖形分割為狹長的長方形(長方形的高度都取函數(shù)在左端或右端的函數(shù)值),分別計算各個長方形的面積再加總,可近似地得出圖形的面積。
當我們把長方形的寬度設定得越來越窄,計算結果就越來越精確,與圖形實際面積的差距越來越小。如果函數(shù)的積分存在,則長方形寬度趨近于0時,求出的長方形面積總和的極限存在,且等于圖形的實際面積。
這里又是一個極限的概念。 如果函數(shù)存在不連續(xù)的點,但在該點左右極限都存在,函數(shù)仍是可積的。
只要間斷點的個數(shù)是有限的,則它們代表的線條面積總和為0,不影響計算結果。 在廣義積分中,允許函數(shù)在無限區(qū)間內(nèi)積分,或某些點的函數(shù)值趨向無窮大,只要積分的極限存在,函數(shù)都是可積的。
嚴格地說,我們只會計算長方形的面積。從我們介紹的積分的求法看,我們實際上是把求面積化為了數(shù)列求和的問題,即求數(shù)列的前n項和s(n),在n趨近于無窮大時的極限。
很多時候,求積分和求無限數(shù)列的和是可以相互轉(zhuǎn)換的。當我們深刻地理解了積分的定義和熟練地掌握了積分公式之后,我們同樣可用它來解決相當棘手的數(shù)列求和問題。
例如:求lim na正無窮大時,1/n*[1+1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+。
+1/(1+(n-1)/n)+1/2]的值。
看似無從下手,可當我們把它轉(zhuǎn)化為一連串的小長方形的面積之后,不禁會恍然大悟:這不是f(x)=1/x在[1,2]上的積分嗎?從而輕松得出結果為ln2。 除了基本的積分公式外,換元法和分步法是常用的積分方法。
換元積分法的實質(zhì)是把原函數(shù)化為形式簡單的復合函數(shù);分步積分法的要領是:在∫udv=uv-∫vdu中,。
一、函數(shù)可微的判斷
1、函數(shù)可微的必要條件
若函數(shù)在某點可微分,則函數(shù)在該點必連續(xù);
若二元函數(shù)在某點可微分,則該函數(shù)在該點對x和y的偏導數(shù)必存在。
2、函數(shù)可微的充分條件
若函數(shù)對x和y的偏導數(shù)在這點的某一鄰域內(nèi)都存在,且均在這點連續(xù),則該函數(shù)在這點可微。
二、多元函數(shù)可微的條件
多元函數(shù)可微的充分必要條件是f(x,y)在點(x0,y0)的兩個偏導數(shù)都存在。
擴展資料:
微分的推導
設函數(shù)y = f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義,x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi),若函數(shù)的增量Δy = f(x0 + Δx) ? f(x0)可表示為Δy = AΔx + o(Δx),其中A是不依賴于△x的常數(shù), o(Δx)是△x的高階無窮小,則稱函數(shù)y = f(x)在點x0是可微的。
AΔx叫做函數(shù)在點x0相應于自變量增量△x的微分,記作dy,即:dy=AΔx。微分dy是自變量改變量△x的線性函數(shù),dy與△y的差是關于△x的高階無窮小量,我們把dy稱作△y的線性主部。
得出: 當△x→0時,△y≈dy。
導數(shù)的記號為:(dy)/(dx)=f′(X),我們可以發(fā)現(xiàn),它不僅表示導數(shù)的記號,而且還可以表示兩個微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分),還可表示為dy=f′(X)dX。
參考資料來源:百度百科-可微性
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