常用的過程數(shù)學(xué)模型的建立方法包括哪些(常見的建立數(shù)學(xué)模型的方法有哪幾種)

1.常見的建立數(shù)學(xué)模型的方法有哪幾種

—般說來建立數(shù)學(xué)模型的方法大體上可分為兩大類、一類是機理分析方法，一類是測試分析方法.機理分析是根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識、分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律，建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義.

模型準備 首先要了解問題的實際背景，明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清對象的特征，由此初步確定用哪一類模型，總之是做好建模的準備工作.情況明才能方法對，這一步一定不能忽視，碰到問題要虛心向從事實際工作的同志請教，盡量掌握第一手資料.

模型假設(shè) 根據(jù)對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言做出假設(shè)，可以說是建模的關(guān)鍵一步.一般地說，一個實際問題不經(jīng)過簡化假設(shè)就很難翻譯成數(shù)學(xué)問題，即使可能，也很難求解.不同的簡化假設(shè)會得到不同的模型.假設(shè)作得不合理或過份簡單，會導(dǎo)致模型失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改和補充假設(shè)；假設(shè)作得過分詳細，試圖把復(fù)雜對象的各方面因素都考慮進去，可能使你很難甚至無法繼續(xù)下一步的工作.通常，作假設(shè)的依據(jù)，一是出于對問題內(nèi)在規(guī)律的認識，二是來自對數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析，也可以是二者的綜合.作假設(shè)時既要運用與問題相關(guān)的物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟等方面的知識，又要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別問題的主次，果斷地抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量將問題線性化、均勻化.經(jīng)驗在這里也常起重要作用.寫出假設(shè)時，語言要精確，就象做習(xí)題時寫出已知條件那樣.

模型構(gòu)成 根據(jù)所作的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個量（常量和變量）之間的等式（或不等式）關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).這里除需要一些相關(guān)學(xué)科的專門知識外，還常常需要較廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的知識，以開拓思路.當然不能要求對數(shù)學(xué)學(xué)科門門精通，而是要知道這些學(xué)科能解決哪一類問題以及大體上怎樣解決.相似類比法，即根據(jù)不同對象的某些相似性，借用已知領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型，也是構(gòu)造模型的一種方法.建模時還應(yīng)遵循的一個原則是，盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，因為你建立的模型總是希望能有更多的人了解和使用，而不是只供少數(shù)專家欣賞.

模型求解 可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數(shù)值計算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計算機技術(shù).

模型分析 對模型解答進行數(shù)學(xué)上的分析，有時要根據(jù)問題的性質(zhì)分析變量間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定狀況，有時是根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)報，有時則可能要給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制，不論哪種情況還常常需要進行誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等.

模型檢驗 把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果翻譯回到實際問題，并用實際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性.這一步對于建模的成敗是非常重要的，要以嚴肅認真的態(tài)度來對待.當然，有些模型如核戰(zhàn)爭模型就不可能要求接受實際的檢驗了.模型檢驗的結(jié)果如果不符合或者部分不符合實際，問題通常出在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補充假設(shè)，重新建模.有些模型要經(jīng)過幾次反復(fù)，不斷完善，直到檢驗結(jié)果獲得某種程度上的滿意.

模型應(yīng)用 應(yīng)用的方式自然取決于問題的性質(zhì)和建模的目的，這方面的內(nèi)容不是本書討論的范圍。

應(yīng)當指出，并不是所有建模過程都要經(jīng)過這些步驟，有時各步驟之間的界限也不那么分明.建模時不應(yīng)拘泥于形式上的按部就班，本書的建模實例就采取了靈活的表述方式

2.建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟

第一、模型準備 首先要了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征。

第二、模型假設(shè) 根據(jù)對象的特征和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設(shè)，是建模至關(guān)重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡單，應(yīng)盡量使問題線性化、均勻化。

第三、模型構(gòu)成 根據(jù)所作的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個量間的等式關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這時，我們便會進入一個廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)天地，這里在高數(shù)、概率老人的膝下，有許多可愛的孩子們，他們是圖論、排隊論、線性規(guī)劃、對策論等許多許多，真是泱泱大國，別有洞天。

不過我們應(yīng)當牢記，建立數(shù)學(xué)模型是為了讓更多的人明了并能加以應(yīng)用，因此工具愈簡單愈有價值。 第四、模型求解 可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數(shù)值運算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計算機技術(shù)。

一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算，許多時候還得將系統(tǒng)運行情況用計算機模擬出來，因此編程和熟悉數(shù)學(xué)軟件包能力便舉足輕重。 第五、模型分析 對模型解答進行數(shù)學(xué)上的分析。

"橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不"。能否對模型結(jié)果作出細致精當?shù)姆治?，決定了你的模型能否達到更高的檔次。

還要記住，不論那種情況都需進行誤差分析，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性分析。

3.模型建立的方法和步驟

一、模型建立的方法 GMS軟件有三種建立確定性模型的方法，包括概念模型法、網(wǎng)格法和Solids法。

本書中所選擇的方法為Solids法。不管是利用網(wǎng)格法或者概念模型法建模，對含水層結(jié)構(gòu)進行合理的概化是其中一個重要環(huán)節(jié)，所建模型的準確性很大程度上取決于對實際水文地質(zhì)條件的正確判斷。

若輕視對具體水文地質(zhì)條件的研究，過多依賴模擬技術(shù)建立的模型，通常與實際問題相差甚遠，也沒有使用價值（魏加華等，2003）。當?shù)貙映霈F(xiàn)尖滅、垂向上具有多元結(jié)構(gòu)、水文地質(zhì)條件比較復(fù)雜時，前兩種方法不能準確描述此類地層結(jié)構(gòu)，也不能驗證基于地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)插值求得的含水層頂?shù)装甯叱淌欠衽c實際的鉆孔資料相符。

GMS中的實體模塊Solids利用鉆孔資料可以建立地層的三維結(jié)構(gòu)可視化模型，Solids模型定義了地層結(jié)構(gòu)的空間分布，可以切割生成三維顯示任意方向的地層剖面（王麗霞等，2011）。二、模型建立的步驟 利用Solids建模的步驟：（1）在鉆孔模塊（borehole）中定義鉆孔的坐標位置及垂向上的層位（horizon）。

層位即不同地層的交線或巖性分界線。由于地層沉積通常是連續(xù)的，因此層位按照一定的次序排列。

然而實際地層一般比較復(fù)雜，鉆孔資料常出現(xiàn)地層缺失現(xiàn)象，遇到此種情況，將缺失的層位空出，使Solids得到的剖面和實際地層剖面相符合。（2）根據(jù)實際的鉆孔資料將相應(yīng)的層位用弧線連接，同時注意地層尖滅的標示。

層位連接后生成不同多邊形，每個多邊形表示相應(yīng)的地層或巖性。（3）在地圖模塊Maps中定義不規(guī)則三角網(wǎng)格TIN，來表示地層單元插值的表面邊界。

（4）在實體模塊Solids選擇恰當?shù)牟逯捣椒ǎ蒱orizons生成其相應(yīng)地層的Solids。如果有N個horizons則有N-1個Solids,Solids生成后即可以在模型上切割任意剖面來檢驗?zāi)Ｐ偷娜S空間結(jié)構(gòu)。

（5）根據(jù)Solids數(shù)來確定所需網(wǎng)格的最小層數(shù)，生成三維網(wǎng)格并進行MODFLOW的初始化。將Solids記錄的地層空間信息轉(zhuǎn)成MODFLOW中含水層的頂?shù)装鍢烁撸链说叵滤S空間結(jié)構(gòu)模型建立完成。

三、建模過程中可能遇到的問題及解決方法 地下水三維可視化模型建立，首先要基本查明灌區(qū)的水文地質(zhì)條件。了解灌區(qū)的地貌、地質(zhì)條件、構(gòu)造發(fā)育、各地層厚度等信息，需要收集和整理地下水的相關(guān)資料，包括灌區(qū)水文地質(zhì)報告、構(gòu)造圖、地質(zhì)地貌圖、水文地質(zhì)剖面圖、電子版地理底圖、等高線圖、含水層頂?shù)装甯叱痰戎稻€圖以及鉆孔數(shù)據(jù)資料等。

再結(jié)合水文地質(zhì)條件對含水層資料進行整理和概化。利用GMS建立地下水三維可視化模型時，尤其是在大區(qū)域建模中，可能出現(xiàn)3類問題（張永波等，2007；孫紅梅等，2008）。

1.由于鉆孔分布不均勻而導(dǎo)致的地層缺失 在大區(qū)域建模中，由于研究區(qū)范圍較大，各部分研究程度不同，一般會引起鉆孔分布的不均勻。通過不均勻分布的鉆孔資料建立水文地質(zhì)結(jié)構(gòu)模型，可能致使部分地層產(chǎn)生缺失，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)模型失真。

另外，鉆孔分布均勻程度是一個相對概念，對于地形平緩、地層結(jié)構(gòu)相對簡單的地區(qū)，少量鉆孔基本可以比較清楚地反映地層結(jié)構(gòu)；對于地形起伏較大、地層結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜、構(gòu)造比較發(fā)育的地區(qū)，需要較多的有效鉆孔，才可能準確揭示地層分布及構(gòu)造發(fā)育狀況，然而實際工作中完全實現(xiàn)是不可能的。對于此種問題，根據(jù)研究區(qū)的地質(zhì)地貌圖、構(gòu)造分布圖及前人繪制的剖面圖，對已有的鉆孔數(shù)據(jù)資料進行分析和整理，在具有控制點作用的位置可以適當虛擬部分鉆孔數(shù)據(jù)或者各層面的高程數(shù)據(jù)，以準確反映該區(qū)域地層結(jié)構(gòu)和構(gòu)造。

采用擴充后的鉆孔數(shù)據(jù)資料建立水文地質(zhì)結(jié)構(gòu)模型，可以彌補由于鉆孔資料缺乏而導(dǎo)致的部分地層的缺失。2.由于鉆孔不夠深而引起的下伏地層抬升 在鉆探工作中，往往有些鉆孔深度不夠，不能完整地揭露地層。

根據(jù)這樣的鉆孔數(shù)據(jù)建立水文地質(zhì)結(jié)構(gòu)模型時，系統(tǒng)默認將鉆孔底部的標高作為上一層的底部界面。這樣就造成下伏地層的抬升。

對于這種情況，根據(jù)前人繪制的地層等厚度線及剖面圖，結(jié)合四周鉆孔數(shù)據(jù)對該鉆孔資料進行修正，修正后的鉆孔資料可以比較準確地反映地層結(jié)構(gòu)。采用修正后的數(shù)據(jù)資料建立水文地質(zhì)結(jié)構(gòu)模型，可以有效地控制下伏地層的抬升。

3.由于鉆孔資料過細而引起的地層混雜 在野外紀錄的鉆孔資料中，局部有透鏡體形成的地層，透鏡體分布的連續(xù)性相對較差。采用過細的資料建模，計算機不能分辨透鏡體及連續(xù)地層，容易出現(xiàn)地層混雜，即將某個鉆孔的透鏡體地層和另一個或其他幾個鉆孔的連續(xù)地層分界面相連接，導(dǎo)致生成錯誤的地層結(jié)構(gòu)。

對于這種情況，根據(jù)該區(qū)域剖面圖整理資料時，將透鏡體區(qū)分出來，忽略較小的透鏡體，針對較大的透鏡體則另外生成地層結(jié)構(gòu)。此外，在插值計算中，由于計算方法的不同，產(chǎn)生的結(jié)果也許會有很大差異，這需要在進行插值計算時，根據(jù)不同的具體條件選擇適當?shù)牟逯捣椒ā?/p>

4.數(shù)學(xué)建模的基本過程有哪些

數(shù)學(xué)建模應(yīng)當掌握的十類算法 ?? 1、蒙特卡羅算法（該算法又稱隨機性模擬算法，是通過計算機仿真來解決問題的算 法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法） 2、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算法（比賽中通常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要 處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具） 3、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題（建模競賽大多數(shù)問題 屬于最優(yōu)化問題，很多時候這些問題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實現(xiàn)） 4、圖論算法（這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉 及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真準備） 5、動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法（這些算法是算法設(shè)計 中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中） 6、最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法（這些問題是 用來解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實 現(xiàn)比較困難，需慎重使用） 7、網(wǎng)格算法和窮舉法（網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點的算法，在很多競賽 題中有應(yīng)用，當重點討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好 使用一些高級語言作為編程工具） 8、一些連續(xù)離散化方法（很多問題都是實際來的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計算機只 認的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非 常重要的） 9、數(shù)值分析算法（如果在比賽中采用高級語言進行編程的話，那一些數(shù)值分析中常 用的算法比如方程訂粻斥救儷嚼籌楔船盲組求解、矩陣運算、函數(shù)積分等算法就需要額外編寫庫函數(shù)進行調(diào) 用） 10、圖象處理算法（賽題中有一類問題與圖形有關(guān)，即使與圖形無關(guān)，論文中也應(yīng)該 要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab 進行處理）。

5.數(shù)學(xué)建模的方法有哪些

這是網(wǎng)上copy來的，寫得還不錯：要重點突破：1 預(yù)測模塊：灰色預(yù)測、時間序列預(yù)測、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測、曲線擬合（線性回歸）；2 歸類判別：歐氏距離判別、fisher判別等 ；3 圖論：最短路徑求法 ；4 最優(yōu)化：列方程組 用lindo 或 lingo軟件解 ；5 其他方法：層次分析法 馬爾可夫鏈 主成分析法 等 ；6 用到軟件：matlab lindo (lingo) excel ;7 比賽前寫幾篇數(shù)模論文。

這是每年參賽的賽提以及獲獎作品的解法，你自己估量著吧…… 賽題 解法 93A非線性交調(diào)的頻率設(shè)計 擬合、規(guī)劃 93B足球隊排名 圖論、層次分析、整數(shù)規(guī)劃 94A逢山開路 圖論、插值、動態(tài)規(guī)劃 94B鎖具裝箱問題 圖論、組合數(shù)學(xué) 95A飛行管理問題 非線性規(guī)劃、線性規(guī)劃 95B天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度 動態(tài)規(guī)劃、排隊論、圖論 96A最優(yōu)捕魚策略 微分方程、優(yōu)化 96B節(jié)水洗衣機 非線性規(guī)劃 97A零件的參數(shù)設(shè)計 非線性規(guī)劃 97B截斷切割的最優(yōu)排列 隨機模擬、圖論 98A一類投資組合問題 多目標優(yōu)化、非線性規(guī)劃 98B災(zāi)情巡視的最佳路線 圖論、組合優(yōu)化 99A自動化車床管理 隨機優(yōu)化、計算機模擬 99B鉆井布局 0-1規(guī)劃、圖論 00A DNA序列分類 模式識別、Fisher判別、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 00B鋼管訂購和運輸 組合優(yōu)化、運輸問題 01A血管三維重建 曲線擬合、曲面重建 01B 工交車調(diào)度問題 多目標規(guī)劃 02A車燈線光源的優(yōu)化 非線性規(guī)劃 02B彩票問題 單目標決策 03A SARS的傳播 微分方程、差分方程 03B 露天礦生產(chǎn)的車輛安排 整數(shù)規(guī)劃、運輸問題 04A奧運會臨時超市網(wǎng)點設(shè)計 統(tǒng)計分析、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化 04B電力市場的輸電阻塞管理 數(shù)據(jù)擬合、優(yōu)化 05A長江水質(zhì)的評價和預(yù)測 預(yù)測評價、數(shù)據(jù)處理 05B DVD在線租賃 隨機規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃 算法的設(shè)計的好壞將直接影響運算速度的快慢，建議多用數(shù)學(xué)軟件（ Mathematice,Matlab,Maple, Mathcad,Lindo,Lingo,SAS 等），這里提供十種數(shù)學(xué) 建模常用算法，僅供參考： 1、蒙特卡羅算法（該算法又稱隨機性模擬算法，是通過計算機仿真來解決 問題的算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必 用的方法） 2、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算法（比賽中通常會遇到大量的數(shù) 據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab 作為工具） 3、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題（建模競賽大多 數(shù)問題屬于最優(yōu)化問題，很多時候這些問題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來描述，通 常使用Lindo、Lingo 軟件實現(xiàn)） 4、圖論算法（這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算 法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真準備） 5、動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法（這些算法是算 法設(shè)計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中） 6、最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法（這些 問題是用來解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對于有些問題非常有幫助， 但是算法的實現(xiàn)比較困難，需慎重使用） 7、網(wǎng)格算法和窮舉法（網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點的算法，在很 多競賽題中有應(yīng)用，當重點討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種 暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具） 8、一些連續(xù)離散化方法（很多問題都是實際來的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計 算機只認的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替 積分等思想是非常重要的） 9、數(shù)值分析算法（如果在比賽中采用高級語言進行編程的話，那一些數(shù)值分 析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、函數(shù)積分等算法就需要額外編 寫庫函數(shù)進行調(diào)用） 10、圖象處理算法（賽題中有一類問題與圖形有關(guān)，即使與圖形無關(guān)，論文 中也應(yīng)該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問 題，通常使用Matlab 進行處理）。

6.常見的數(shù)學(xué)模型有哪些

1、生物學(xué)數(shù)學(xué)模型

2、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型

3、地質(zhì)學(xué)數(shù)學(xué)模型

4、氣象學(xué)數(shù)學(xué)模型

5、經(jīng)濟學(xué)數(shù)學(xué)模型

6、社會學(xué)數(shù)學(xué)模型

7、物理學(xué)數(shù)學(xué)模型

8、化學(xué)數(shù)學(xué)模型

9、天文學(xué)數(shù)學(xué)模型

10、工程學(xué)數(shù)學(xué)模型

11、管理學(xué)數(shù)學(xué)模型

擴展資料

數(shù)學(xué)模型的歷史可以追溯到人類開始使用數(shù)字的時代。隨著人類使用數(shù)字，就不斷地建立各種數(shù)學(xué)模型，以解決各種各樣的實際問題。

數(shù)學(xué)模型這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是借助于數(shù)學(xué)符號刻劃出來的某種系統(tǒng)的純關(guān)系結(jié)構(gòu)。從廣義理解，數(shù)學(xué)模型包括數(shù)學(xué)中的各種概念，各種公式和各種理論。

因為它們都是由現(xiàn)實世界的原型抽象出來的，從這意義上講，整個數(shù)學(xué)也可以說是一門關(guān)于數(shù)學(xué)模型的科學(xué)。從狹義理解，數(shù)學(xué)模型只指那些反映了特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，這個意義上也可理解為聯(lián)系一個系統(tǒng)中各變量間內(nèi)的關(guān)系的數(shù)學(xué)表達。

參考資料來源：搜狗百科-數(shù)學(xué)模型

7.求幾種常用的數(shù)學(xué)建模的方法

1. 公式法：等差數(shù)列求和公式： Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比數(shù)列求和公式： Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)2.錯位相減法適用題型：適用于通項公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式 { an }、{ bn }分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+。

+anbn 例如： an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4。.+anbn qTn= a1b2+a2b3+a3b4+。

+a(n-1)bn+anb(n+1) Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+。bn[an-a(n-1)]-anb(n+1) Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+。

bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/（1-q）3.倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1+an） Sn =a1+ a2+ a3+。

+an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3)。

+a1 上下相加 得到2Sn 即 Sn= (a1+an)n/24.分組法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可. 例如：an=2^n+n-15.裂項法適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加時抵消中間的許多項。 常用公式： （1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] (3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] (4)1/（√a+√b）=[1/(a-b)]（√a-√b） (5) n·n!=(n+1)!-n！ [例] 求數(shù)列an=1/n(n+1) 的前n項和. 解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂項） 則Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）= 1-1/(n+1)= n/(n+1) 小結(jié)：此類變形的特點是將原數(shù)列每一項拆為兩項之后，其中中間的大部分項都互相抵消了。

只剩下有限的幾項。 注意： 余下的項具有如下的特點 1余下的項前后的位置前后是對稱的。

2余下的項前后的正負性是相反的。6.數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟： （1）證明當n取第一個值時命題成立； （2）假設(shè)當n=k(k≥n的第一個值，k為自然數(shù))時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

例：求證：1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5 證明： 當n=1時，有： 1*2*3*4 + 2*3*4*5 = 2*3*4*5*(1/5 +1) = 2*3*4*5*6/5 假設(shè)命題在n=k時成立，于是： 1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 則當n=k+1時有： 1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + （k+1）(k+2)(k+3)(k+4) = 1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1) = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5 即n=k+1時原等式仍然成立，歸納得證7.通項化歸 先將通項公式進行化簡，再進行求和。 如：求數(shù)列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4，……的前n項和。

此時先將an求出，再利用分組等方法求和。8.并項求和：例：1-2+3-4+5-6+……+（2n-1）-2n （并項） 求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，再相減。

等差數(shù)列的重要規(guī)律1.an=m,am=n,(m不等于n)，則a(m+n)=0證明：令m>n得：am-an=(m-n)d=n-m 即：d=-1an=a1+(n-1)d=m 可得：a1=m+n-1a(m+n)=a1+(m+n-1)d=02.Sn=m,Sm=n,(m不等于n)，則Sm+n=-(m+n)證明：令m>n得：Sn=[a1+a1+(n-1)d]n/2=m。

1Sm=[a1+a1+(m-1)d]m/2=n。

.2聯(lián)立1、2解得：a1=(m^2+n^2+mn-m-n)/mnd=-2(m+n)/mnS(m+n)=[a1+a1+(m+n-1)d](m+n)/2 =-(m+n)設(shè)﹛an﹜是公差不為零的等差數(shù)列，Sn是前n項的和，滿足﹙a2﹚2+﹙a3﹚2=﹙a4﹚2+﹙a5﹚2 , S7=7(1) 求數(shù)列的通項公式以及前n項和sn(2)試求所有的正整數(shù)m，使得[am*a(m+1﹚]/a﹙m+2﹚是數(shù)列Sn中的項。