由微積分求定積分方法(微積分的簡(jiǎn)便計(jì)算方法)
1.微積分的簡(jiǎn)便計(jì)算方法有哪些
積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)
設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且設(shè)x為[a,b]上的一點(diǎn).現(xiàn)在我們來(lái)考察f(x)在部分區(qū)間[a,x]上的定積分，我們知道f(x)在[a,x]上仍舊連續(xù)，因此此定積分存在。
如果上限x在區(qū)間[a,b]上任意變動(dòng)，則對(duì)于每一個(gè)取定的x值，定積分有一個(gè)對(duì)應(yīng)值，所以它在[a,b]上定義了一個(gè)函數(shù)，記作φ（x）:
注意：為了明確起見(jiàn)，我們改換了積分變量（定積分與積分變量的記法無(wú)關(guān)）
定理（1）：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在[a,b]上具有導(dǎo)數(shù)，
并且它的導(dǎo)數(shù)是 （a≤x≤b）
(2)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)就是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)。
注意：定理（2）即肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，又初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。
牛頓--萊布尼茲公式
定理（3）：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則
注意：此公式被稱為牛頓-萊布尼茲公式，它進(jìn)一步揭示了定積分與原函數(shù)（不定積分）之間的聯(lián)系。
它表明：一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任一個(gè)原函數(shù)再去見(jiàn)[a,b]上的增量。因此它就
給定積分提供了一個(gè)有效而簡(jiǎn)便的計(jì)算方法。
例題：求
解答：我們由牛頓-萊布尼茲公式得：
注意：通常也把牛頓--萊布尼茲公式稱作微積分基本公式。
2.我想找“求定積分的幾種方法“
對(duì)應(yīng)不定積分有初等函數(shù)解的，即可以積出來(lái)的，先積出原函數(shù)后就沒(méi)什么問(wèn)題。
對(duì)應(yīng)不定積分無(wú)初等函數(shù)解的。要說(shuō)具體技巧多了，那只能就題論題，我只能說(shuō)說(shuō)思考方向。
1.考慮對(duì)稱性，利用對(duì)稱性抵消一部分，剩下一般為簡(jiǎn)單部分。
2.考慮區(qū)間的特殊性，利用換元構(gòu)造方程。比如0到π/2,f(sinx)與f(cosx)的積分相等，就是換元t=π/2-x后得到的。
3.由定積分的性質(zhì)拆分區(qū)間構(gòu)造方程。
4.轉(zhuǎn)化為二重積分，交換積分次序后，中間步驟可能會(huì)積出原函數(shù)。比如0到無(wú)窮，[e^(-2x)-e^(x)]/x的積分，可以轉(zhuǎn)化為∫[]0+，∞]dx∫[1,2]e^(-xy)/xdy，先對(duì)y積分，則e^(-xy)/x對(duì)y可以積出。
5.對(duì)于無(wú)窮或者半無(wú)窮區(qū)間的，一般可以用留數(shù)法、構(gòu)造收斂因子、傅立葉變換、拉普拉斯變換等，這些相對(duì)比較難了。
6.對(duì)于特殊區(qū)間，經(jīng)過(guò)換元轉(zhuǎn)化為[0,1]上的積分，用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，逐項(xiàng)積分，最后求級(jí)數(shù)收斂值。
我能想到的只有這么多了。
以上均為求精確解，一般區(qū)間對(duì)于積不出的情況，只有用數(shù)值分析近似求解了。
3.微積分定積分
定積分是變量限定在一定的范圍內(nèi)的積分，有范圍的.微積分包括微分和積分，積分和微分互為逆運(yùn)算，積分又包括定積分和不定積分，不定積分是沒(méi)范圍的
眾所周知，微積分的兩大部分是微分與積分。一元函數(shù)情況下，求微分實(shí)際上是求一個(gè)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，而求積分是求已知導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)。所以，微分與積分互為逆運(yùn)算。
微積分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分（Differentiation）、積分（Integration）以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。
定積分包含于微積分
微積分包括：微分，積分
積分又包括：定積分，不定積分
不定積分是只有積分號(hào)，沒(méi)有積分上下限的那種積分
定積分是不但有積分號(hào)，還有積分上下限的那種積分
微分：設(shè)函數(shù)y=f(x)的自變量有一改變量△x，則函數(shù)的對(duì)應(yīng)改變量△y的近似值f~(x)*△x叫做函數(shù)y的微分.（“~”表示導(dǎo)數(shù)）
記為 dy=f~(x)△x
可見(jiàn)，微分的概念是在導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)上得到的.
自變量的微分的等于自變量的改變量，則
將△x用dx代之，則微分寫(xiě)為dy=f~(x)dx
變形為：dy/dx=f~(x)
故導(dǎo)數(shù)又叫微商.
積分：它是微分學(xué)的逆問(wèn)題.函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做f(x)的或f(x)dx的不定積分.記作 ∫f(x)dx.
若F(x)是f(x)的原函數(shù)，則有
∫f(x)dx=F(x)+C C為任意常數(shù)，稱為不定積分常數(shù).
對(duì)于定積分，它的概念來(lái)源不同于不定積分.定積分檎是從極限方面來(lái).是從以“不變”代“變”，以“直”代“曲”求某個(gè)變化過(guò)程中無(wú)限多個(gè)微小量的和，最后取極限得到的.所以不定積分與定積分不是僅差一個(gè)常數(shù)的問(wèn)題，即使是在計(jì)算上僅差一常數(shù)，而且運(yùn)算法則也基本相同.它們之間建立關(guān)系是通過(guò)“牛頓-萊布尼茲公式”.公式是
非曲直 ∫f(x)dx=F(b)-F(a) 積分下限a，上限b
4.利用微積分基本定理求定積分,數(shù)學(xué)
求定積分：【-1,3】∫（4x-x2）dx
解：原式=（2x2-x3/3）【-1,3】=（18-9）-(2+1/3)=9-7/3=20/3
【注：∫（4x-x2）dx=∫4xdx-∫x2dx=4(x2/2)-x3/3=2x2-x3/3；然后將積分限代入即得，這不很簡(jiǎn)單嗎？】
【為什么要除以2和除以3呢？你沒(méi)學(xué)過(guò)不定積分吧？∫x?dx=x??1/（n+1）；套這個(gè)公式啊！n=1時(shí)
n+1=1+1=2，故要除以2;n=2時(shí)n+1=2+1=3，故要除以3??！】
